2019-2020年高三数学二轮 函数与方程教案
命题要点:
（1）函数零点的概念及判断方法；（2）一次函数模型；（3）二次函数模型；（4）指数、对数函数模型；（5）对勾函数模型。 命题趋势:
1． 函数零点是新增内容，也是高考考查的重要内容之一，特别是函数零点与方程的根的关
系问题，此类问题难度不大，但要注意零点存在性定理的灵活运用。
2． 函数模型考查的重点是函数模型的建立及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函
数的最值或利用基本不等式求最值，该部分试题的背景新颖，常与实际生活、社会热点等问题密切相关，设置问题新颖。最值问题是函数实际应用题求解的重点，掌握各种初等函数的模型是解决数学实际问题的关键。 命题规律：
1．函数与方程思想是中学数学重要思想方法之一，大多与其他知识进行综合考查，题型为选择，填空，简答题均有。
2. 函数是数学的主干，与数列、导数、解析几何、立体几何等都有联系，试题难度较大，主要体现在函数应用题和含参数的不等式恒成立问题，分离参数后化为函数最值问题。 题型分析:
类型一 函数零点的确定
确定函数零点存在区间及个数的常用方法 (1)利用零点存在的判定定理；
(2)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解。
[例1] (xx年高考湖北卷)函数f(x)＝xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 根据x2的范围判断y＝cos x2在区间[0，4]上的零点个数．当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.
11ππ3π5π7π9π22因为5π<16<，所以函数y＝cos x在x取，，，，时为0，此时f(x)
222222＝0，所以f(x)＝xcos x在区间[0，4]上的零点个数为6. [答案] C
2
跟踪训练
πx(xx年保定摸底)函数f(x)＝3cos －logx的零点的个数是( )
2A．2 B．3 C．4 D．5
π
解析：把求函数f(x)的零点的个数问题转化为求函数y＝3cos x的图象与函数y＝
2logx的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．
π
函数y＝3cos x的最小正周期是4，当x＝8时，y＝log8＝－3，结合图象可知两个
2πx函数的图象只能有5个交点，即函数f(x)＝3cos －logx有5个零点．
2答案：D
方法总结：函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个
零点；
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
类型二 函数零点的应用问题
应用函数零点求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
[例2] (xx年高考天津卷)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
[解析] 先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解． 根据绝对值的意义，
2
?x＋1（x>1或x<－1），|x－1|?
y＝＝?
x－1?－x－1（－1≤x<1）.?在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．
根据图象可知，
当0 跟踪训练 已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 解析：因为原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解的问题，即方程a＝2x－ex有解． 令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex， 令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数， 所以g(x)的最大值为g(ln 2)＝2ln 2－2. 因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域， 即a∈(－∞，2ln 2－2]． 答案：(－∞，2ln 2－2] 方法总结：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就
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