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第六节 正弦定理和余弦定理
考点一
π
[例1] (1)(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin ∠BAC
4
＝( )
10103105A. B. C. D. 105105(2)(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a， b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
1
(3)(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin
3
∠BAC＝________.
2
[自主解答] (1)由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3×2×＝5，所以AC＝5.再由正
2
23×
2310ACBCBC·sin B
弦定理得＝，所以sin A＝＝＝.
sin Bsin AAC105
(2)由3sin A＝5sin B，可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝
a2＋b2－c2?5t?2＋?3t?2－?7t?212π
7t，可得cos C＝＝＝－，又C∈(0，π)，故C＝.
2ab232×5t×3t
BMABAB
(3)在△ABM中，由正弦定理得＝＝，设角A，B，C所对
sin∠BAMsin∠BMAcos∠MAC3ca2＋4b2a22a222
的边分别为a，b，c，所以a＝，整理得(3a－2c)＝0，2＝，故sin∠BAC＝＝
22bc3c
6. 3
2π6
[答案] (1)C (2) (3)
33
【方法规律】
正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．
(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
1
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，
2
且a＞b，则∠B＝( )
ππ2π5πA. B. C. D. 6336
1
解析：选A 由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，
2
111
∴sin Bsin(A＋C)＝sin B.又∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝，
222
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1
利用正、余弦定理解三角形 匠心文档，专属精品。
π5ππ∴B＝或.又∵a＞b，∴A＞B，∴B＝.
666
2．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
1
解析：选D 由23cos2A＋cos 2A＝0，得25cos2A＝1，因为A为锐角，所以cos A＝.
5
1213
又由a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝b2＋36－b，整理得5b2－12b－65＝0，解得b＝－(舍)
55
或b＝5.即b＝5.
考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 [例2] 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，
1
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，又0＜c＜π，所以A＝120°.
2
1
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝.
2
πππ
因为0＜B＜，0＜C＜，故B＝C＝，所以△ABC是等腰钝角三角形．
226
【互动探究】
若将本例(2)中的条件改为“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，试判断△ABC的形状．
解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
π
∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰或直角三角形
2
【方法规律】
判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．
(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
解析：选A 依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和及互补角的意义，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，
π
即sin A＝1，所以A＝.即△ABC为直角三角形．
2
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高频考点
考点三 与三角形面积有关的问题
1．正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)求三角形的面积；
(2)已知三角形的面积解三角形． [例3] (1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
ππ
b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )
64
A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－1 (2)( 2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
①求角A的大小；
②若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值．
bcbsin C
[自主解答] (1)由正弦定理知＝，结合条件得c＝＝22.又sin A＝sin(π
sin Bsin Csin B
6＋21
－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝
42
3＋1.
(2)①由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2 A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝
1π
0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0 231133 ②由S＝bcsin A＝bc·＝bc＝53，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4. 2224 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝21. bcbc2035 又由正弦定理得sin Bsin C＝sin A·sin A＝2sin2A＝×＝. aaa2147 [答案] (1)B 与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 111 (1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一 222 个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋3asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c. 解：(1)由acos C＋3asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C，所以3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. π1πA－?＝.又0＜A＜π，故A＝. 由于sin C≠0，所以sin??6?23 匠心教育系列 3 匠心文档，专属精品。 1 (2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4. 2 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2. 2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B. 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C. 所以sin Bsin C＝cos Bsin C， π 又C∈(0，π)，所以sin C≠0，故sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝. 4 12π (2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 244 4 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大 2－2 值为2＋1. ————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1组关系——三角形中的边角关系 在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B?cos A＜cos B. 2种途径——判断三角形形状的途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2个注意点——解三角形应注意的问题 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论． (2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 匠心教育系列 4
【创新方案】高考数学(理)一轮突破热点题型：第3章 第6节 正弦定理和余弦定理
