比较法、分析法练习
1已知a，b∈R，那么“a＞1，b＞1”是“ab＋1＞a＋b”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
ac
<，则( )． bd
aa?cca?cacA．<< B．<<
bb?ddb?dbdaca?cC．<< D．以上均可能
bdb?d2已知a，b，c，d∈{正实数}，且
3下列不等式：①a＋2＞2a；②a＋b＞2(a－b－1)；③(a＋b)(c＋d)＞(ac＋bd)，其中，恒成立的有( )．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4已知0＜x＜1，a?2x，b＝1＋x，c?22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1，则a，b，c中最大的是________． 1?x5设x＝ab＋5，y＝2ab－a－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是__________． 6已知点An(n，an)为函数y?x2?1的图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x的图像上的
*
点，其中n∈N，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为__________．
?a?b?7已知a，b为不相等的正实数，求证：???2?8已知a，b，m，n均为正数，求证：am＋na+b?abba．
mnnm＋bm＋n≥ab＋ab．
参考答案
1 答案：A a＋b－(ab＋1)＝a－ab＋b－1＝a(1－b)＋(b－1)＝(b－1)(1－a)＝－(a－1)(b－1)．
若a＞1，b＞1，则－(a－1)(b－1)＜0， ∴a＋b＜ab＋1成立，即ab＋1＞a＋b．
反之，若a＋b＜ab＋1，即－(a－1)(b－1)＜0，
∴(a－1)(b－1)＞0，不一定有a＞1，b＞1．故选A．
2 答案：A ∵a，b，c，d∈{正实数}，∴ad＜bc，∴ab＋ad＜ab＋bc， 即a(b＋d)＜b(a＋c)， ∴
ac<， bdaa?c． 2 又由ad＜bc，得ad＋dc＜bc＋dc， 即d(a＋c)＜c(b＋d)， ∴ 3 答案：C 在①中，a＋2－2a＝(a－1)＋1≥1＞0， 2 ∴a＋2＞2a成立． 222222 在②中，a＋b－2(a－b－1)＝a＋b－2a＋2b＋2＝(a－1)＋(b＋1)≥0，当且仅当a＝1且b＝－1时，取等号． 22222 在③中，(a＋b)(c＋d)－(ac＋bd) 222222222222＝ac＋bc＋ad＋bd－ac－2abcd－bd 22222 ＝bc＋ad－2abcd＝(bc－ad)≥0． 故只有①恒成立． 4 答案：c 因为0＜x＜1，所以a＞0，b＞0，c＞0， 22222又a?b=(2x)?(1+x)=?(1+x)<0， 22 所以a－b＜0，所以a＜b． 1x2?(1+x)=?0， 又c?b?1?x1?x所以c＞b，所以c＞b＞a． 22 5 答案：ab≠1或a≠－2 x－y＝(ab－1)＋(a＋2)． 22 因为x＞y，所以(ab－1)＋(a＋2)＞0． 则ab－1≠0或a＋2≠0，即ab≠1或a≠－2． 6 答案：cn＞cn＋1 ∵an?∴cn?n2?1，bn＝n， 1， n2?1?n?n?1?n2∴cn随n的增大而减小，即cn为减函数，∴cn＋1＜cn． 7 答案：证明：∵a，b为不相等的正实数，∴ a?b?ab?0， 2?a?b?∴要证???2?a?b?abba，只需证(ab)a?b?abba． a?b2a?b2b?a?=ab???abba?b?aa?b若a＞b＞0，则?1，?0， b2而 ?ab?abbaa?b?aa?b2b?a2a?b2． ∴??a???b?a?b2?1； 若b＞a＞0，则0 又ab＞0， a?bba∴?ab??ab．∴?a?ba?b??abba． 28 答案：分析：利用作差法证明即可． m＋nm＋nmnnm证明：a＋b－ab－ab mnnmnn＝a(a－b)＋b(b－a) nnmm＝(a－b)(a－b)． ∵a，b，m，n均为正数， nnmm∴当a≥b时，(a－b)(a－b)≥0， m＋nm＋nmnnm∴a＋b≥ab＋ab； nnmm当a＜b时，(a－b)(a－b)＞0， m＋nm＋nmnnm∴a＋b＞ab＋ab． m＋nm＋nmnnm综上知：a＋b≥ab＋ab．
数学北师大选修45课后训练：第一章§4不等式的证明第1课时 含解析
