周世国：微积分第二章讲义
周 世 国 讲 义
第二章 连续函数
第一节 连续函数
一.连续函数的概念
引：许多物理量都是随时间而连续变化的。例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。通常我们说物理量f?t?随时间t的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量f?t?在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t的改变量非常小，相应地量f?t?的改变也应该非常小.用极限的语言来说： limf?t??f?t0?.
t?t0推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.
1.定义1.设函数f?x?在x0的邻域U?x0?内有定义，如果limf?x??f?x0?，则称
x?x0f?x?在x0点处连续，并称x0点为函数f?x?的连续点. 注意：
（1）由定义1可见，函数在x0点处连续，则x0点必属于f?x?的定义域,这
x?x0limf?x??A定义的前提有本质的区别；
（2）如果f?x?在x0点处连续，则函数f?x?在x0点首先必有极限，而且极限值就 是函数f?x?在x0点处的定义值，因此f?x?在连续点处的极限很好求； （3）如果f?x?在x0点处连续，则limf?x??flimx.
x?x0x?x0??2.连续的第一个等价定义：设函数f?x?在x0的邻域U?x0?内有定义，如果对
???0,???0，使当x?x0??时，就有
f?x??f?x0???成立，称f?x?在x0点处连续，并称x0点为函数f?x?的连续点. 注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求0?x?x0（为何？） 函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.
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3.定义2.若自变量从初始值x0变化到终值x,相应地函数值由f?x0?变化到
f?x?，则称x?x0为自变量的增量，并计为?x?x?x0；而称f?x??f?x0?为函数的增量，计为?y?f?x??f?x0?.
注意：显然?y?f?x??f?x0?又可表示为：?y?f?x0??x??f?x0?由此可见
?y?f?x??f?x0?是?x?x?x0的函数.
4.连续的第二种等价定义：设函数f?x?在x0的邻域U?x0?内有定义，如果
?x?0lim?y?0，则称f?x?在x0点处连续，并称x0点为函数f?x?的连续点.
二.左、右连续
1.定义3.如果lim?f?x??f?x0?，则称f?x?在x0点处左连续，并称x0点为函数
x?x0f?x?的左连续点；
2.定义4.如果lim?f?x??f?x0?，则称f?x?在x0点处右连续，并称x0点为函数
x?x0f?x?的右连续点.
定理1.f?x?在x0点处连续?f?x?在x0点处既左连续又，右连续. 注意：连续函数的几何意义是：函数y?f?x?的曲线在x0点处没有断.
三.函数在区间上连续
定义5.若函数f?x?在开区间?a,b?内每一点x0处都连续，则称函数f?x?在开区间
?a,b?内连续；若函数f?x?在开区间?a,b?内每一点x0处都连续，而且在点a处右
连续，在点b处左连续则称函数f?x?在闭区间?a,b?上连续.
注意：在在闭区间?a,b?上连续的函数的图形特征是曲线位于?a,b?上方的一段是连续不间断的.
例1.证明常值函数f?x??c在???,???连续.
证明：任取x0????,???，下证f?x?在x0点处连续，即要证limf?x??f?x0?，
x?x0 2
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也就是要证： limc?c.
x?x0事实上，对???0,要使|f?x??f?x0?|?|c?c|?0??，可取?为任意正实数，则当|x?x0|??时，就有 |f?x??f?x0?|??成立。 所以，依定义，f?x?在x0点处连续. 例2 .证明：y?sinx在???,???连续.
证明：任取x0????,???，下证f?x?在x0点处连续，即要证limsinx?sinx0
x?x0事实上，对???0，要使
|f?x??f?x0?|?|sinx?sinx0|?2|cosx?x0x?x0|x?x0|||sin|?2??. 222只须，取???，则当|x?x0|??时，就有
|sinx?sinx0|??，所以limsinx?sinx0.
x?x0下去自己模仿我证明y?cosx在???,???连续. 例3．证明：y?ax(a?0,a?1)在???,???连续.
xxa?lima?1(?f(0))，即y?ax(a?0,a?1)在x?0连续. 证明：（一）先证lim??x?0x?01．事实上，?x,0?x?1,?n?N,使
?11?x?， n?1n1nx1n?1当x?0时，n???， 从而，当0?a?1时，a?a?a当a?1时， a因为lima?lima?1，同理, liman??n??n??1nn1n?1；
1n?1?a?a .
x?0x1n?1.所以，由夹逼准则，limax?1 ?x?0y?0x?ya?lima?2．当x?0，设x??y，则y?0，lim??y?0xxa?lima?1(?f(0)). 于是，lim??x?0x?01?1. lim?ay（二）再证：对任意x0????,???，有limax?ax0，即y?ax(a?0,a?1)在x0 点
x?x0处连续.
事实上，limax?limax0.ax?x0?ax0.limay?ax0
x?x0x?x0y?0 3
(高等数学)第二章 连续函数
