习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限
11?xsin?ysin,x?y?0?例.1 f?x,y?=?yx?0,x?y?0?例.2
?3xy?f(x,y)??x2?y2??0x2?y2?0x2?y2?0
x2y2例.3 f(x,y)?22，证明：limlimf?x,y??limlimf?x,y??0，而二重极限2y?0x?0x?0y?0xy?(x?y)limf?x,y?不存在。
x?0y?0
一般结论：
重极限与累次极限没有关系
重极限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)与累次极限limlimf(x,y),x?x0y?y0y?y0x?x0limlimf(x,y)均存在，则有 (x,y)?(x0,y0)limf(x,y)=limlimf(x,y)?limlimf(x,y) x?x0y?y0y?y0x?x0
x?x0y?y0limlimf(x,y),y?y0x?x0limlimf(x,y)均存在但不等，(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)不存在
二．多元函数的极限与连续，连续函数性质
例.4 求下列极限：
（1）
(x,y)?(1,0)lim(x?y)limx?y?1x?y?1； （2）
(x,y)?(0,0)lim(x?y)ln(x2?y2);
（3）
sin(xy)；
(x,y)?(0,0)x22?(x?y)x???y??? 。
（4）limx?y；
x??x2?xy?y2y??
（5）lim(x?y)e
例.5 证明：极限
(x,y)?(?,?)lim(xyx2?y2)x2?0．
例.6
若z?f?x,y?在R上连续, 且
2x?y???lim22f?x,y????, 证明 函数f在R2上一
定有最小值点。
f(x)在Rn上连续,且
(1) x?0时, f(x)?0 (2) ?c?0, f(cx)?cf(x)
例.7 例.8
若f(x,y)在(0,0)点的某个邻域内有定义，f(0,0)?0，且
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?x2?y2x?y22?a
a为常数。证明：
（1）f(x,y)在(0,0)点连续；
（2）若a??1，则f(x,y)在(0,0)点连续，但不可微； （3）若a??1，则f(x,y)在(0,0)点可微。
?xy2222?2sin(x?y),x?y?0 在(0,0)点是否连续?
例.9 函数f(x,y)??x?y2?220,x?y?0? (填是或否)；在(0,0)点是否可微? (填是或否)．
三．多元函数的全微分与偏导数
例.10 有如下做法：
设f(x,y)?(x?y)?(x,y)其中?(x,y)在(0,0)点连续, 则
df(x,y)???(x,y)?(x?y)?x(x,y)?dx??(x,y)?(x?y)?y(x,y)dy 令x?0,y?0, df(0,0)??(0,0)(dx?dy).
(1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法.
例.11
设二元函数f(x,y)于全平面?上可微，(a,b)为平面?上给定的一点，则极限
22??limx?0f(a?x,b)?f(a?x,b)? 。
x设函数f(x,y)在(1,1)点可微，f(1,1)?1，fx?(1,1)?2，fy?(1,1)?3，
例.12
g(x)?f(x,f(x,x))，求g?(1)。
例.13
?zy?2z2设z?f(xy,),其中f?C，求和。
x?x?x?y2例.14 设z?x,y?定义在矩形区域D??x,y?0?x?a,0?y?b上的可微函数。证明: （1）z?x,y??f?y????x,y??D,???z?0 ; ?x?2z（2）z?x,y??f?y??g?y????x,y??D,?0
?x?y 例.15
n为整数，若任意t?0,f(tx,ty)?tnf(x,y)，则称f是n次齐次函数。证明：
f(x,y)是零次齐次函数的充要条件是
x 例.16
下列条件成立时能够推出f(x,y)在(x0,y0)点可微,且全微分df?0的是
（ ）.
(A) 在点(x0,y0)两个偏导数fx??0,fy??0 (B)f(x,y)在点(x0,y0)的全增量?f? (C)f(x,y)在点(x0,y0)的全增量?f??f?f?y?0. ?x?y?x?y?x??y222,
sin(?x2??y2)?x??y222
(D) f(x,y)在点(x0,y0)的全增量?f?(?x??y)sin
例.17 设f(x,y)?1 22?x??yxy,则在(0,0)点( B )
(A) 连续,但偏导数不存在； (B) 偏导数存在,但不可微； (C) 可微； (D) 偏导数存在且连续.
例.18 设z?arcsinx，求dz. y例.19
u?arctanx?y，则du? x?y例.20
y?2z?2z设函数z?2cos(x?)，证明?22?0．
2?x?y?y2例.21
设函数z?(x?2y)xy，求
?z?z及． ?x?y例.22
1?2z若函数f(u)有二阶导数，设函数z?f(xy)?yf(x?y)，求．
x?x?y例.23
?z?zx?y?2z设函数z?arctan，求，，
?x?y?x?yx?y?zy?2z2设z?f(xy,),其中f?C，求和。
x?x?x?y2例.24
*多元复合函数 设二元函数z?f(u,v)在点(u0,v0)处偏导数连续，二元函数u?u(x,y),v?v(x,y)在点(x0,y0)处偏导数连续, 并且u0?u(x0,y0),v0?v(x0,y0), 则复合函数 z?f(u(x,y),v(x,y)) 在点(x0,y0)处可微，且 ?z?x(x0,y0)??f?u0,v0??u?x0,y0??f?u0,v0??v?x0,y0?????u?x?v?x?f?u0,v0??u?x0,y0??f?u0,v0??v?x0,y0? ????u?y?v?y?z?y (x0,y0)?*多元函数微分形式的不变性：设z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)，均为连续可微，则将z看成x,y的函数，有
dz??z?f?u?f?v??,?x?u?x?v?xdz??z?zdx?dy ?x?y计算
?z?f?u?f?v??，代人， ?y?u?y?v?y??f?u?f?v??z?z??f?u?f?v?dx?dy????dx????u?y??v?y??dy?x?y?u?x?v?x?????f??u?u??f??v?v?????dx?dy?dx?dy? ??v??x??u??x?y?y??????f?fdu?dv?u?v我们将dz? 例.25
?z?z?f?fdx?dy?du?dv叫做微分形式不变性。 ?x?y?u?v设z?x3f?xy,???z?zy??，求,。
?x?yx?1例.26 已知 y?()x例.27
?1x，求
dy. dx22设f(x,y)定义在R上, 若它对x连续,对y的偏导数在R上有界, 证明f(x,y)连续．
微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511
