第4讲 简单的三角恒等变换
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1．设A，B是△ABC的内角，且cos A＝，sin B＝，则sin C＝( )
513
631616A.或－ B. 656565166363C.或－ D. 656565
ππ1
0，?，cos?＋α?＝，则sin α的值等于( ) 2．(2018年湖北4月调研)已知α∈??2??6?3
2 2－32 2＋3A. B. 662 6－12 6－1C. D．－ 66
3．下列关于函数f(x)＝sin x(sin x＋cos x)的说法中，错误的是( ) A．f(x)的最小正周期为π
π?
B．f(x)的图象关于点??8，0?对称
π
C．f(x)的图象关于直线x＝－对称
8π
D．f(x)的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
8
π
0，?内有解，则a的取值范围是( ) 4．为使方程cos2x－sin x＋a＝0在??2?A．－1≤a≤1 B．－1 5 C．－1≤a<0 D．a≤－ 4 ππ 2x＋?＋cos?2x＋?，则f(x)( ) 5．(多选)设函数f(x)＝sin?4?4??? A．是偶函数 π 0，?上单调递减 B．在??2?C．最大值为2 π D．其图象关于直线x＝对称 2 6．(2015年浙江)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________，单调递减区间是__________________． 7．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现 1－2cos227°2 了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin 18°.若m＋n＝4，则＝3mn __________. 8．sin220°＋cos280°＋3sin 20°cos 80°＝________. π 0，?上有两个不同的零点，9．若函数y＝cos 2x＋3sin 2x＋a在?则实数a的取值范围为?2?____________． π3π?10．在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈??4，4?. π12 α＋?＝－，则x0的值为________________． 若cos??4?13 11．(2015年安徽)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期； π 0，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间??2? 12．(2017年浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)． 2π?(1)求f??3?的值； (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 第4讲 简单的三角恒等变换 34 1．D 解析：∵cos A＝，0 55 5 又sin B＝ 13 12 ∴B为锐角且cos B＝1－sin2B＝. 13 63 ∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.故选D. 65 2．C 1－cos 2xπ112 2x－?＋，∴f(x)的3．B 解析：∵f(x)＝sin x(cos x＋sin x)＝sin 2x＋＝sin?4?2?222 π?2π2?ππ?11?2×?－π?－π?＝2×－＋＝.故B错误；最小正周期T＝＝π.故A正确；f?＝·sinsin?8?2?84?222??8?4?π2??π?π?112－1.故C正确；将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝·sin2?x－8?－4＋＝－ 82??222 cos 2x为偶函数，故D正确．故选B. 4．B 解析：设sin x＝t，则方程cos2x－sin x＋a＝0变为a＝t2＋t－1，其中t∈(0,1]．∵t2＋t－1∈(－1,1]，∴－1 5．ABD 3－2?3π7π12x＋sin xcos x＋1＝sin 2x＋6．π ?8＋kπ，8＋kπ?，k∈Z 解析：f(x)＝sin?22 1－cos 2xπ31132?2π32 ＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝·sin?2x－4?＋，∴T＝＝π；f(x). min＝－?222222222 3π7π ＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 单调递减区间为?8?8? 1 7．－ 解析：m＝2sin 18°，m2＋n＝4，n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°， 6 1－2cos227°1－2cos227°－cos 54°1则＝＝＝－. 63×2sin 18°×2cos 18°6sin 36°3mn 1 8. 解析：方法一，(降幂化角)sin220°＋cos280°＋3sin 20°cos 80° 411＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 160°)＋3sin 20°cos 80° 2211＝1－cos 40°＋cos 160°＋3sin 20°cos(60°＋20°) 2211＝1－cos 40°＋(cos 120°cos 40°－sin 120°sin 40°)＋3sin 20°(cos 60°cos 20°－sin 60°sin 22 20°) 11333＝1－cos 40°－cos 40°－sin 40°＋sin 40°－sin220° 24442331＝1－cos 40°－(1－cos 40°)＝. 444方法二，(构造对偶式)设x＝sin220°＋cos280°＋3sin 20°cos 80°，y＝cos220°＋sin280°－3cos 20°sin 80°，则 1 x＋y＝1＋1－3sin 60°＝， 2 x－y＝－cos 40°＋cos 160°＋3sin 100° ＝－2sin 100°sin 60°＋3sin 100°＝0. 1 ∴x＝y＝. 4 1 即x＝sin220°＋cos280°＋3sin 20°cos 80°＝. 4 ππ 2x＋?＋a，该函数在?0，?上有两个不同9．(－2，－1] 解析：由题意，可知y＝2sin?6???2?ππ 2x＋?的图象在?0，?上有两个不同的交点．结合函数的图象的零点，即y＝－a，y＝2sin?6???2?D137，可知1≤－a＜2，∴－2＜a≤－1. 图D137 7 2 10．－ 解析：∵点P(x0，y0)在单位圆O上，且∠xOP＝α，∴cos α＝x0，sin α＝y0， 26π3π?ππππ125，，α＋∈?，π?.且cos?α＋?＝－，则sin?α＋?＝， 又α∈??44??4??4?134?2?13 ππππ?α＋π?sin π＝－7 2. α＋?－?＝cos?α＋?·x0＝cos α＝cos??cos ＋sin?4??4?4??4?4?426 π2x＋?＋11．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin?4??1， 2π ∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 2π 2x＋?＋1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin?4?? πππ5π0，?时，2x＋∈?，?， 当x∈??2?4?44? π 作单位圆，画出2x＋所表示角的集合，由图D138可知， 4 图D138 πππ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值2＋1； 428π5ππ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0. 442 π 0，?上的最大值为2＋1，最小值为0. 综上，f(x)在??2?2π??3?2?1?213 －－2 3××?－?＝2. 12．解：(1)f?＝－?3??2??2?2?2?(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x， π2x＋?. 得f(x)＝－cos 2x－3sin 2x＝－2sin?6?? ∴f(x)的最小正周期是π. ππ3π 由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 262 π2π 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 63 π2π ＋kπ，＋kπ?，k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间是?3?6?
2021届高考数学一轮复习训练第4讲简单的三角恒等变换
