解：由题意知：f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t，则 f'(x)??3x2?2x?t ∵f(x)在区间(?1,1)上是增函数，∴f'(x)?0 即t?3x2?2x在区间(?1,1)上是恒成立，
11 设g(x)?3x2?2x，则g(x)?3(x?)2?，于是有
由f'( y?y0 又点A 化简得
所以切
33 t?g(x)max?g(?1)?5
∴当t?5时，f(x)在区间(?1,1)上是增函数
又当t?5时， f'(x)??3x2?2x?5??3(x?1)2143?3，
在(?1,1)上，有f'(x)?0，即t?5时，f(x)在区间(?1,1)上是增函数 当t?5时，显然f(x)在区间(?1,1)上不是增函数 ∴t?5
（18）（本小题满分12分）
解：（1）f'(x)?3ax2?2bx?3，依题意，
f'(1)?f'(?1)?0，即??3a?2b?3?0,?3a?2b?3?0. 解得 a?1,b?0 ┅┅ （3分） ∴f'(x)?x3?3x，∴f'(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)
令f'(x)?0，得 x??1,x?1
若x?(??,?1)?(1,??)，则f'(x)?0 故f(x)在(??,?1)和(1,??)上是增函数；
若x?(?1，1)，则f'(x)?0 故f(x)在(?1,1)上是减函数；
所以f(?1)?2是极大值，f(1)??2是极小值。 （2）曲线方程为y?x3?3x，点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(x0,y0)，则y30?x0?3x0
19）（本小题
解：f'(x 令f' 当x变
x f'(x) f(x) ∴极大值
又f(0)最大值与（1）当af(a)（2）由f(x?1)2(又x?0∴当a?（)
? （3）当a?(1?210,??)时，函数f(x)的最大值为： 3
f(a)?3a4?8a3?6a2?24a （20）（本小题满分12分）
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则 由h2?r2?R2，所以 从而得：k?1 (22) 解
h'(x)?1?ax V?13?r2h?13?(R2?h2)h?13?R2h?13?h3,(0?h?R) ∴V'?13?R2??h2，令V'?0得 h?33R 易知：h?33R是函数V的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 ∴当h?33R时，容积最大。 把h?33R代入h2?r2?R2，得 r?63R 由R??2?r得 ??263? 即圆心角??263?时，容器的容积最大。 答：扇形圆心角??263?时，容器的容积最大。 (21) （本小题满分12分）
解：解方程组??y?kxy?kxy?x?x2?y?x?x2 得：直线分抛物线的交点的横坐标为 x?0和x?1?k 抛
物线
y?x?x2与x轴所围成图形为面积为
S??1(x?x2)dx?(1x2?1x3)|110230?6 由题设得 S1?k1?k2??0(x?x2)dx??0kxdx
x∵
又①
②
（2）
点
C1在
C2在
假
2x1?则
x2?1)xx1所以 ln2? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分）
xx11?2x12(设t?x22(t?1)，则lnt?,t?1， ①
1?tx12(t?1),t?1，则 1?t令h(t)?lnt?14(t?1)2 h'(t)???22t(1?t)t(t?1)当t?1时，h'(t)?0，所以h(t)在[1,??)上单调递增。 故h(t)?h(1)?0，从而lnt?2(t?1) 这与①矛盾，假设不成立， 1?t∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。 ┅┅┅┅ （14分）
?f/(?1)?0?3?2a?b?0?a??3???49、解：（1）由已知得f/(x)?3x2?2ax?b Q?f/(3)?0??27?6a?b?0??b??9
?f(?1)?7??1?a?b?c?7?c?2???（2）由（1），f/(x)?3(x?1)(x?3)
当?1?x?3时，f/(x)?0；当x?3时，f/(x)?0 故x?3时，f(x)取得极小值，极小值为f(3)??25 50、解：a＝
3?133?131137?c?0或c?，b＝－6. 由f(x)min＝－+c>-得 22c222
高二数学选修2-2导数单元测试题（有答案）
