初三冲刺必备
二次函数的动点问题
1.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?010，?，，?84?，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，0?出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90?的点P有 个．
?b4ac?b2?（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是??，?．
2a4a??2
y D s 28 C A P B 20 O E Q x O 10 图②
t 图①
[解] （1）作BF?y轴于F．
?A?010，?，B?8，4?，
?FB?8，FA?6．
1
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?AB?10．
（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．
又?AB?10，10?10?1． ?P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG?y轴于G，则PG∥BF．
?GAAPFA?GAAB，即6?t10． ?GA?35t．
?OG?10?35t．
?OQ?4?t，
?S?12?OQ?OG?12?t?4????10?3?5t??．
即S??310t2?195t?20． 19??b2a??5?19，且0192??≤?3?33≤10， ??10???当t?193时，S有最大值． 此时GP?4765t?15，OG?10?3315t?5， ?点P的坐标为??7631??15，5??．
方法二：当t?5时，OG?7，OQ?9，S?12OG?OQ?632．设所求函数关系式为S?at2?bt?20．
?抛物线过点?10，28?，??63??5，2??，
?100a?10b?20?28??，???25a?5b?20?63
2.
2
8分）（
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3?a??，??10?? ?b?19.?5??S??3219t?t?20． 1051919b195?????，且0≤≤10， 32a?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 37631，OG?， 此时GP?155?7631??点P的坐标为?，?．
?155?（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
． 2. 如图①，Rt△ABC中，?B?90，?CAB?30．它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点
??B的坐标为(5，53)，AB?10，点P从点A出发，沿A?B?C的方向匀速运动，同
时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求?BAO的度数．
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标． （4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点
P沿这两边运动时，使?OPQ?90?的点P有几个？请说明理由．
3
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y C 30 S B Q P D 10 O x O 5 t （第29题图①）A （第29题图②）
解: （1）∠BAO?60?．
（2）点P的运动速度为2个单位/秒． （3）P(10?t，3t)（0≤t≤5）
?S?12(2t?2)(10?t) ?????t?9?21212???4． ?当t?92时，S有最大值为1214， 此时P??1193??2，2??． ??（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ?90?的点P有2个． ①当点P与点A重合时，∠OPQ?90?，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作∠OPM?90?交y轴于点M，作PH?y轴于点H，
由△OPH∽△OPM得：OM?2033?11.5， 所以OQ?OM，从而∠OPQ?90?．
所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ?90?的点P有1个． ②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ?12?1033?17.8． 4
y Q M BC H ( P) D O A x 第29题图①
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而构成直角时交y轴于?0，???353?353，?20.2?17.8， ??3?3所以∠OCQ?90?，从而∠OPQ?90?的点P也有1个． 所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ?90?的点P有2个．
3. （本题满分14分）如图12，直线y??4x?4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知3二次函数的图象经过点A、C和点B??1,0?.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
3个单位长度的速度沿折线OAC 2按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，?ODE的面积为S .
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，那么S0 = .
解：（1）令x?0，则y?4；
令y?0则x?3．∴A?3，0?．C?0，4? ∵二次函数的图象过点C?0，4?， ∴可设二次函数的关系式为
y?ax2?bx?4
5
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又∵该函数图象过点A?3，0?．B??1，0? ∴??0?9a?3b?4，
?0?a?b?4．48，b?． 33解之，得a??∴所求二次函数的关系式为y??428x?x?4 33428x?x?4 334162=??x?1??
33（2）∵y??∴顶点M的坐标为?1，? 过点M作MF?x轴于F
∴S四边形AOCM?S△AFM?S梯形FOCM
yM?16??3?CEBOFDAx1161?16?=??3?1?????4???1?10 232?3?∴四边形AOCM的面积为10 （3）①不存在DE∥OC
AC?5．∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1?t?2，在Rt△AOC中，
设点E的坐标为?x1，y1?∴∴
x13?12t?124t?4，∴x1? ∵DE∥OC，
55812t?123?t ∴t?
3528∵t?>2，不满足1?t?2．
3∴不存在DE∥OC．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为
3?4?524（秒） ?311?42现分情况讨论如下： ⅰ）当0?t≤1时，S?13?t?4t?3t2； 22ⅱ）当1?t≤2时，设点E的坐标为?x2，y2?
6
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∴
y24?36?16t5??4t?4?，∴y2?
551336?16t1227?t???t2?t 225552436?16tⅲ）当2 yM3t?3y42∴， ?456t?12∴y4? 5∴S?S△AOE?S△AOD BCEDAOx136?16t16t?12?3???3? 25253372t?=? 55243③S0? 80? 47.关于x的二次函数y??x2?(k2?4)x?2k?2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图； （2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作 x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩 形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式； （3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由． ?b4ac?b2?参考资料：抛物线y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标是??，?，对称轴是直线 4a??2a2x??b． 2a2解：（1）据题意得：k?4?0， ?k??2． 7 初三冲刺必备 当k?2时，2k?2?2?0． 当k??2时，2k?2??6?0． 又抛物线与y轴的交点在x轴上方，?k?2． ?抛物线的解析式为：y??x2?2． 函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可） （2）解：令?x2?2?0，得x??2． 不0?x?2时，A1D1?2x，A1B1??x2?2， ?l?2(A1B1?A1D1)??2x2?4x?4． y 当x?2时，A2D2?2x， 224 3 A2B2??(?x?2)?x?2． ?l?2(A2D2?A2B2)?2x?4x?4． ?l关于x的函数关系是： 当0?x?当x?2D1 C2 C1 ?4 ?3 ?2 ?1 2 1 A1 B2 B1 1 2 3 4 ?1 x 2时，l??2x2?4x?4； D2 ?2 2时，l?2x2?4x?4． 2时，令A1B1?A1D1， ?3 ?4 A2 （3）解法一：当0?x?2得x?2x?2?0． ?5 ?6 ?7 （第26题） 解得x??1?3（舍），或x??1?3． 2将x??1?3代入l??2x?4x?4， 得l?83?8． 当x?2时，令A2B2?A2D2，得x2?2x?2?0． 解得x?1?3（舍），或x?1?3． 2将x?1?3代入l?2x?4x?4，得l?83?8． 综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x?3?1时正方形的周长为83?8；当x?3?1 8 初三冲刺必备 时，正方形的周长为83?8． 解法二：当0?x?2时，同“解法一”可得x??1?3． ?正方形的周长l?4A1D1?8x?83?8． 当x?2时，同“解法一”可得x?1?3． ?正方形的周长l?4A2D2?8x?83?8． 综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x?3?1时正方形的周长为83?8；当x?3?1时，正方形的周长为83?8． 解法三：?点A在y轴右侧的抛物线上， ?x?0，且点A的坐标为(x，?x2?2)． 2令AB?AD，则?x?2?2x． ??x2?2?2x，??①或?x2?2??2x??② 由①解得x??1?3（舍），或x??1?3； 由②解得x?1?3（舍），或x?1?3． 又l?8x， ?当x??1?3时l?83?8； 当x?1?3时l?83?8． 综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x?3?1时正方形的周长为83?8；当x?3?1时，正方形的周长为83?8． 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； 9 初三冲刺必备 （4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由． 第26题图 解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得 第26题图(批卷教师用图) 10 初三冲刺必备 ??0＝36a－6b＋8 解得?? 0＝4a＋2b＋8? ?? ? 2 a＝－ 3 8b＝－ 3 228 ∴所求抛物线的表达式为y＝－x－x＋8 33（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ EFBEEF8－m＝ 即＝ ACAB108 40－5m∴EF＝ 4 4 过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 5 ∴ FG4440－5m＝ ∴FG＝〃＝8－m EF554 11 ∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m） 22111 ＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （4）存在． 12112 理由：∵S＝－m＋4m＝－（m－4）＋8 且－＜0， 222 ∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形． 6.（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒 11 初三冲刺必备 的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x??b） 2a （1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)?? 13121x?x?4 33解法二：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)， 1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得? 116a?4b?4?0??b??3? 所以 所求的抛物线的解析式为y?? （2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB DQCDDQ210??,DQ? 即ABCA577所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 – 10252525?1?= ，t? 7777 12 初三冲刺必备 所以t的值是 25 7b1? 2a21对称 2（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 10QEDQDEQEDE?? 即 ?7?BOABAO45386620208所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，） 777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0) 8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ?24?m???411?x??824?2x?所以直线AQ的解析式为y? 联立? 8244141?y?x???41411?x??128?2) 由此得? 所以M(,824241?y?x???4141则：在对称轴上存在点M( 7. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）， OB＝OC ，tan∠ACO＝ 128,)，使MQ+MC的值最小。 2411． 3（1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存 13 初三冲刺必备 AOBxAE C D （1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分 图 9在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. yyOBxCD图 10G?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ……………………2分 ?c??3??a?1?解得：?b??2 ……………………3分 ?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ……………………3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ………………………1分 设该表达式为：y?a(x?1)(x?3) ……………………2分 将C点的坐标代入得：a?1 ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ……………………3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3 ∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分 14 初三冲刺必备 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3 ∴E点的坐标为（－3，0） ………………………4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，－3） ………………………5分 （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?1?17 …………6分 2y1MRRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r）， 代入抛物线的表达式，解得r??1?17 ………7分 2AMO1rrNBx1?17?1?17∴圆的半径为或． ……………7分 22（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．……………8分 设P（x，x2?2x?3），则Q（x，－x－1），PQ??x2?x?2． DS?APG?S?APQ?S?GPQ?当x?1(?x2?x?2)?3 ……………………9分 21时，△APG的面积最大 2此时P点的坐标为?,??1?22715?S的最大值为，． ……………………10分 ??APG84?8．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） ∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得 15 初三冲刺必备 ??0＝36a－6b＋8 解得?? 0＝4a＋2b＋8? ?? ? 2 a＝－ 3 8b＝－ 3 228 ∴所求抛物线的表达式为y＝－x－x＋8 33（3）∵AB＝8，OC＝8 1 ∴S△ABC ＝×8×8=32 2 （4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ EFBEEF8－m40－5m＝ 即＝ ∴EF＝ ACAB1084 4过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 5 ∴ FG4440－5m＝ ∴FG＝〃＝8－m EF554 11 ∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m） 22111 ＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （5）存在． 理由： 111 ∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0， 222∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形． 16 初三冲刺必备 9.（12分）已知：如图14，抛物线y??相交于点B，点C，直线y?? 323x?3与x轴交于点A，点B，与直线y??x?b443x?b与y轴交于点E． 4（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积． （3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）在y??32x?3中，令y?0 4C E y 3??x2?3?0 4?x1?2，x2??2 ?A(?2，0)，B(2，0) 又?点B在y??1分 A N M D O P B x 3x?b上 43?0???b 23b? 2 17 初三冲刺必备 ?BC的解析式为y??334x?2 ?（2）由??y??3x2?3?x1??1?4?x?2?33，得??2y9? ?1??y???y2?04x?2??4?C????1，9?4??，B(2，0) ?AB?4，CD?94 ?S?19△ABC2?4?94?2 （3）过点N作NP?MB于点P ?EO?MB ?NP∥EO ?△BNP∽△BEO ?BNNPBE?EO 由直线y??34x?32可得：E??3??0，2?? ?在△BEO中，BO?2，EO?32，则BE?52 ?2t65?NP3，?NP?5t 22?S?162?5t?(4?t) S??3t2125?5t(0?t?4) S??35(t?2)2?125 ?此抛物线开口向下，?当t?2时，S12最大?5 ?当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为 125． 18 2分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分 11分 12分
2016最新中考二次函数动点问题（含答案）
