数学试卷
一、选择题.(每小题5分，共计60分）
1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是( ) A．－6 B．6 C．9 D．12
1．B [∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.]
2.在△ABC中，若a＝
5
b，A＝2B，则cos B等于( ) 2
A.
5555 B. C. D. 3456
asin A5sin A5sin 2B解析B 由正弦定理得b＝sin B，∴a＝2b可化为sin B＝2.又A＝2B，∴sin B
5＝2，
5
∴cos B＝4. 3.已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项都是1，公差和公比都是2，则
ba2?ba3?ba4?
A．24 B．25 C．26 D．84
【解析】等差数列{an}首项是1，公差是2，所以a2?3,a3?5,a4?7，等比数列{bn}首项是1，公比是2，所以ba2?ba3?ba4?b3?b5?b7?2?2?2?84，故选D．
2464.设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是( )
444
A．(－，2) B．(－∞，－)∪(2，＋∞) C．(－2，) D．(－∞，
3334
2)∪(，＋∞)
3
4．A [∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－
4
2m－8<0，∴－ 3 1 5．P是△ABC内的一点，→AP＝(→AB＋→AC)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为 3 ( ) 3 A. B. 2 C．3 D．6 2 S△ABC2S△ABD2AD 5．C [设△ABC边BC的中点为D，则＝＝. APS△ABPS△ABP S△ABC→1→→2→→3→→3→ ∵AP＝(AB＋AC)＝AD，∴AD＝AP，∴|AD|＝|AP|.∴＝3.] 3322S△ABP 6．已知Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，则数列{an}( ) A．是公比为2的等比数列 B．是公差为2的等差数列 1 C．是公比为的等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 2 【答案】D [∵log2Sn＝n，∴Sn＝2n，则a1＝2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n1＝2n1. ∵a1＝2不适合上式，∴{an}既非等差数列，也非等比数列．] － － ???1???7．已知sin?????，则sin??2???（ ） ?3?3?6?7A．? 972C．? D．? 99????1由题意可得cos(??)?cos(?(??))?cos(??)?， 32663????sin(?2?)?sin[?(2??)]?cos(?2?)6233??7?cos2(??)?2cos2(??)?1??，选A. 669B． 7 9 8．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 解析 设BC＝a，则BM＝MC＝.在△ABM中，AB＝BM＋AM－2BM×AMcos∠AMB， 212a22222 即7＝a＋4－2××4×cos∠AMB，①在△ACM中，AC＝AM＋CM－2AM×CM×cos∠ 4212a12222222 AMC，即6＝4＋a＋2×4××cos∠AMB，②由①＋②，得7＋6＝4＋4＋a，∴a＝106. 4 2 2 a222 9．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝a2，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝( ) A．15 C．21 B．19 D．30 2 2故a＝0或a＝3.由S，2＝S·【答案】B [由S3＝a2S4成等比数列可得S22得3a2＝a2，221S2，1S4， 又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)，化简得3d2＝2a2d，又d≠0，∴a2＝3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a10＝19.] 10．已知sin?α???sinα?，则cos??α?3?53??45?π?432π??的值是（A ） ?（A）? （B） （C）? （D） 解：A 453535 π?ππ3331?sin?α???sinα?sinαcos?cosαsin?sinα?sinα?cosα?3(sinα?cosα)3?332222?π4，所以π43，所以sin(α?)??3sin(α?)?6565 2π?π?π4??πcos?α??=cos??(α?)???sin(α?)??3?6?65??2 11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则大项为（ ） A． B． C． 所以， 中最大项为 ，故选C． 中最 D． ， C因为S19>0，S20<0，所以 所以， 当 时， 所以， ，且 12．已知数列① ；② 为等差数列，其前项和为，且；③ ；④ ． ，给出以下结论： 其中一定正确的结论是（ ） A． ①② B． ①③④ 12．B设等差数列的公差为，则 ，则，③正确. C． ①③ D． ①②④ ，故 即 .①正确. 若 ，故 且它们为的最大值，②错误. ，故④正确，综上选B. 二．填空题（每小题5分，共计20分） 13. 设向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. 1 解析 ∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49. 2 ∴|5a－b|＝7. sin(???)?2cos(2???)????14. 已知角?的终边经过点P(?1,2)，则_________. sina?sin?????2?【解析】∵角?的终边经过点P??1,2?，∴tan???2 sin??????2cos?2????∴ ???sina?sin?????2???sin??2cos??tan??22?2????4． sina?cos?tan??1?2?1batanC15．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若＋＝6cosC，则 abtanAtanC＋＝________. tanBbaa2＋b2a2＋b2－c22222 解析 ∵＋＝6cosC，可知＝6·，∴2a＋2b－2c＝c. abab2abtanCtanCsinCsinB＋AsinCc2c又＋＝＝＝＝222＝4. tanAtanBsinAsinBcosCsinAsinBcosCabcosCa＋b－c2 2 2 16．已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵(如图1所示)： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 … … … … … 图1 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________． 【答案】598 [第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×119×18＋×1＝190(项)，第20行第10项为数列{an}中的第200项．又a3＝7，a6＝16，∴d 2a6－a316－7＝＝＝3，∴an＝a3＋(n－3)·d＝7＋3(n－3)＝3n－2，∴a200＝3×200－2＝598.] 36－3 三、解答题（6大题，共计70分） 17．（10分）已知 （1）求与的夹角θ； （2）求 17．解 （1）∵∴又 3 61． 61， ． 4，||＝3， 27＝61， ∴64﹣4∴ 6． ∴cosθ又0≤θ≤π， ∴θ ． ． （2）∵∴ ． 42+32+2×（﹣6）＝13， 18.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B3＝. 5 (1)若b＝4，求sin A的值； (2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值. 3 解 (1)∵cos B＝5＞0，0＜B＜π， 4 ∴sin B＝1－cos2B＝5. aba2 由正弦定理得sin A＝sin B，∴sin A＝bsin B＝5. 14 (2)∵S△ABC＝2acsin B＝5c＝4，∴c＝5. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B
安徽省滁州市明光中学2024-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
