思则睿智，文则典雅！ 初中数学竞赛专题培训讲练 主讲人：蒋老师
初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2
-b2
=(a+b)(a-b)； (2)a2
±2ab+b2
=(a±b)2
； (3)a3
+b3
=(a+b)(a2
-ab+b2
)； (4)a3
-b3
=(a-b)(a2
+ab+b2
)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2
+b2
+c2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
；
(6)a3
+b3
+c3
-3abc=(a+b+c)(a2
+b2
+c2
-ab-bc-ca)；
(7)an
-bn
=(a-b)(an-1
+an-2
b+an-3
b2
+?+abn-2
+bn-1
)其中n为正整数； (8)an
-bn
=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3
b2
-?+abn-2
-bn-1
)，其中n为偶数； (9)an
+bn
=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3
b2
-?-abn-2
+bn-1
)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1yn
+4x
3n-1
yn+2-2xn-1yn+4
；
(2)x3
-8y3
-z3
-6xyz； (3)a2
+b2
+c2
-2bc+2ca-2ab； (4)a7
-a5b2
+a2b5
-b7
．
解 (1)原式=-2xn-1yn
(x4
n-2x2
ny2
+y4
) =-2xn-1yn
[(x2
n)2
-2x2
ny2
+(y2)2
] =-2xn-1yn
(x2
n-y2)2
=-2xn-1yn
(xn
-y)2
(xn
+y)2
． (2)原式=x3
+(-2y)3
+(-z)3
-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2
+4y2
+z2
+2xy+xz-2yz)．
学校地址：乐山市市中区致江路42号 (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2
+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2
+(-b)2
+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2
(4)原式=(a7
-a5b2
)+(a2b5
-b7
) =a5
(a2
-b2
)+b5
(a2
-b2
) =(a2
-b2
)(a5
+b5
)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4
-a3
b+a2b2
-ab3
+b4
) =(a+b)2
(a-b)(a4
-a3
b+a2b2
-ab3
+b4
) 例2 分解因式：a3
+b3
+c3
-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式
(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3
+b3
=(a+b)3
-3ab(a+b)．
这个
式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)3
-3ab(a+b)+c3
-3abc =［(a+b)3+c3
］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2
-c(a+b)+c2
]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2
+b2
+c2-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3
-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3
+b3
+c3
=3abc；当a+b+c＞0时，则a3
+b3
+c3
-3abc?0，即a3
+b3
+c3
?3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a3
?0，y=b3
?0，z=c3
?0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
咨询热线：0833-2342988 15883369183（蒋老师）
思则睿智，文则典雅！ 初中数学竞赛专题培训讲练 主讲人：蒋老师 例3 分解因式：x+x+x+?+x+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，15
15
14
13
2
解法4 添加两项-x+x． 原式=x-9x+8 3
22
x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an
-bn
来分解． 解 因为
x16
-1=(x-1)(x15
+x14
+x13
+?x2
+x+1)， 所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例4 分解因式：x3
-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3
-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2
+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3
-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2
+x-8)．
解法3 将三次项x3
拆成9x3
-8x3
． 原式=9x3
-8x3
-9x+8 =(9x3
-9x)+(-8x3
+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2
+x+1) =(x-1)(x2
+x-8)．
学校地址：乐山市市中区致江路42号 =x3
-x2
+x2
-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2
+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中
技巧性最强的一种． 例5 分解因式： (1)x9
+x6
+x3
-3； (2)(m2
-1)(n2
-1)+4mn； (3)(x+1)4
+(x2
-1)2
+(x-1)4
； (4)a3
b-ab3
+a2
+b2
+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9
+x6
+x3
-1-1-1 =(x9
-1)+(x6
-1)+(x3
-1)
=(x3
-1)(x6
+x3
+1)+(x3
-1)(x3
+1)+(x3
-1) =(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2
+x+1)(x6
+2x3
+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2
-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2
-m2
-n2
+1+2mn+2mn =(m2n2
+2mn+1)-(m2
-2mn+n2
) =(mn+1)2
-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2
-1)2
拆成2(x2
-1)2
-(x2
-1)2
． 原式=(x+1)4
+2(x2
-1)2
-(x2
-1)2
+(x-1)4
=［(x+1)4
+2(x+1)2
(x-1)2
+(x-1)4
]-(x2
-1)2
=［(x+1)2
+(x-1)2]2
-(x2
-1)2
=(2x2
+2)2
-(x2
-1)2
=(3x2
+1)(x2
+3)． (4)添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2
+1+ab-ab =(a3
b-ab3
)+(a2
-ab)+(ab+b2
+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2
+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2
+1) =[a(a-b)+1](ab+b2
+1)
咨询热线：0833-2342988 15883369183（蒋老师）
思则睿智，文则典雅！ 初中数学竞赛专题培训讲练 主讲人：蒋老师 =(a-ab+1)(b+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，2
2
=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．
说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元2
所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x2
+x+1)(x2
+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2
+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x2
+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2
+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2
+x-2)(x2
+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
说明 本题也可将x2
+x+1看作一个整体，比如今x2
+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例7 分解因式：
(x2
+3x+2)(4x2
+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2
+5x+3)(2x2
+5x+2)-90． 令y=2x2
+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2
+y-90 =(y+10)(y-9)
=(2x2
+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础． 例8 分解因式：
(x2
+4x+8)2+3x(x2
+4x+8)+2x2
．
解 设x2
+4x+8=y，则
原式=y2
+3xy+2x2
=(y+2x)(y+x) =(x2
+6x+8)(x2
+5x+8)
学校地址：乐山市市中区致江路42号 都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式． 例9 分解因式：6x4
+7x3
-36x2
-7x+6． 解法1 原式=6(x4
+1)＋7x(x2
-1)-36x2
=6［(x4
-2x2
+1)+2x2
］+7x(x2
-1)-36x2
=6[(x2
-1)2+2x2
]+7x(x2
-1)-36x2
=6(x2
-1)2
+7x(x2
-1)-24x2
=[2(x2
-1)-3x］［3(x2
-1)+8x] =(2x2
-3x-2)(3x2
+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
说明 本解法实际上是将x2
-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体． 解法2
原式=x2
[6(t2
+2)+7t-36]
=x2
(6t2
+7t-24)=x2
(2t-3)(3t+8) =x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8] =(2x2
-3x-2)(3x2
+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2
)．
分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式． 解 原式=[(x+y)2
-xy]2
-4xy[(x+y)2
-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 原式=(u2
-v)2
-4v(u2-2v) =u4
-6u2
v+9v2
=(u2
-3v)2
=(x2
+2xy+y2
-3xy)2
=(x2
-xy+y2)2
．
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练习一
1．分解因式：
(2)x10
+x5
-2；
(4)(x5
+x4
+x3
+x2
+x+1)2
-x5
．
2．分解因式：
(1)x3
+3x2
-4； (2)x4
-11x2y2
+y2
；
(3)x3
+9x2
+26x+24； (4)x4
-12x+323．
学校地址：乐山市市中区致江路42号 3．分解因式：
(1)(2x2
-3x+1)2
-22x2
+33x-1；
(2)x4+7x3+14x2
+7x+1；
(3)(x+y)3
+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
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初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二
次六项式(ax2
+bxy+cy2
+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2
-7xy-22y2
-5x+35y-3．我们将上式按x降
幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2
-(5+7y)x-(22y2
-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字
相乘法，分解为
即：-22y2
+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两
个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2
-7xy-22y2
； (x-3)(2x+1)=2x2
-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y2
+35y-3．
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
学校地址：乐山市市中区致江路42号 这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2
+bxy+cy2
+dx+ey+f进行因式分
解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2
+bxy+cy2
，得到一个十字相乘图(有
两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第
三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式： (1)x2
-3xy-10y2
+x+9y-2； (2)x2
-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； 解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． (2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2
项，可把这一项的系数看成0来分解．
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