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一、选择题
1．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
解析：选B.若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，
则b∥α或b?α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b?α或b与α相交，故D错误．故选B.
2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B.对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错；易知B正确；对于C，若α⊥β，
l⊥α，则l∥β或l?β，故C错；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错．故选B.3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命
题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面
BDE.故选C.
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的命题是( )
A．①②C．①④
B．②③D．②④
解析：选B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二
面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．
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5．(2024·
高考全国卷
Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
D.22
B.56
C.55
1A.5
解析：选C.如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，AD1＝AD2＋DD21＝2，DM＝
1?511
AB＝，AD2＋?DB＝AB2＋AD2＋DD21＝5，所以OM＝AD＝1，OD＝DB11?2?22215
，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝2
55
12＋??－???2??2?2×1×为5
22
2＝5
，即异面直线AD1与DB15
2
＝
所成角的余弦值
55
，故选
C.??6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )??A
B．3
．2
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在
D．5
平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )
B．3
C．4
A．2
解析：选B.如图，设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平
面ABC，
因为D1E?平面ABD1，
所以平面ABD1⊥平面ABC.
因为D1E⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，
所以BC⊥平面ABD1，又BC?平面BCD1，
所以平面BCD1⊥平面ABD1，
因为BC⊥平面ABD1，AD1?平面ABD1，
所以BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，所以AD1⊥平面BCD1，又AD1?平面ACD1，
所以平面ACD1⊥平面BCD1.
所以共有3对平面互相垂直．故选B.
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7．(2024·
广
州
二、填空题
调
研)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN
交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．
1
解析：如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝，因为N
3212
是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝，故NT＝2－－＝1，因为M为CC1
333的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为1
平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝，连接
3
1
BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即Q′与Q重合，故AQ＝.3
8.如图，
∠
ACB＝90°，DA
⊥
平面ABC，AE
⊥
DB交DB于点E，AF
⊥
1
答案：
3
DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D-AEF体积的最大值为________．
解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF
⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D-AEF的高．因为AE为等腰直11a2＋b21角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝2，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝×
2222
21112
＝，所以三棱锥D-AEF的体积V≤××2＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．22326
9．(2024·
昆
明
答案：
2
6调
研)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2.过点A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点，若A
A1与平面α所成的角为45°，则截面A1MN面积的最小值是________．
解析：如图，过点A作AE⊥MN，连接A1E，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥MN，所以MN⊥平面A1AE，所以A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，所以∠AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，所以∠AA1E＝45°，在Rt△A1AE中，因为AA1＝2，所以AE＝2，A1E＝22，在Rt△MAN中，由
射影定理得ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式得MN＝ME＋EN≥2ME·EN＝4，当且仅当ME＝EN，即E为
1
MN的中点时等号成立，所以截面A1MN面积的最小值为×4×22＝42.
2
10.如图，在三棱锥A-BCD中，AB
⊥
答案：42三、解答题
2024届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题四 2 第2讲 专题强化训练 Word版含解析
