2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)若复数z满足z(2?i)?11?7i(i为虚数单位)，则z为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i
(2)已知全集U?{0,1,2,3,4}，集合A?{1,2,3}，B?{2,4}，则(eUA)UB为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} (3)函数f(x)?1?4?x2的定义域为
ln(x?1) (A)[?2,0)U(0,2] (B)(?1,0)U(0,2] (C)[?2,2] (D)(?1,2]
(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 (5)设命题p：函数y?sin2x的最小正周期为对称.则下列判断正确的是
(A)p为真 (B)?q为假 (C)p?q为假 (D)p?q为真 ?x?2y?2,?(6)设变量x,y满足约束条件?2x?y?4,则目标函数z?3x?y的取值范围是
?4x?y??1,???；命题q：函数y?cosx的图象关于直线x?22
333 (A)[?,6] (B)[?,?1] (C)[?1,6] (D)[?6,]
222(7)执行右面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
??x????(0?x?9)的最大值与最小值之和为 (8)函数y?2sin?63?? (A)2?3 (B)0 (C)－1 (D)?1?3 (9)圆(x?2)2?y2?4与圆(x?2)2?(y?1)2?9的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
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(10)函数y?cos6x的图象大致为
2x?2?x
x2y2(11)已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2.若抛物线C2:x2?2py(p?0)的焦
ab点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 (A) x2?83163y (B) x2?y (C)x2?8y (D)x2?16y 33(12)设函数f(x)?1，g(x)??x2?bx.若y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且仅有两个不x同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2)，则下列判断正确的是 (A)x1?x2?0,y1?y2?0 (B)x1?x2?0,y1?y2?0 (C)x1?x2?0,y1?y2?0 (D)
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
(13)如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A?DED1的体积为＿＿＿＿＿.
(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低
于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.
(15)若函数f(x)?ax(a?0,a?1)在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数
g(x)?(1?4m)x在[0,??)上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
(16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上
uuur沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿＿＿＿.
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三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinB(tanA?tanC)?tanAtanC. (Ⅰ)求证：a,b,c成等比数列； (Ⅱ)若a?1,c?2，求△ABC的面积S.
(18)(本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
(19) (本小题满分12分)
如图，几何体E?ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，
CB?CD,EC?BD. (Ⅰ)求证：BE?DE；
(Ⅱ)若∠BCD?120?，M为线段AE的中点， 求证：DM∥平面BEC.
(20) (本小题满分12分)
已知等差数列{an}的前5项和为105，且a20?2a5. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)对任意m?N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
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(21) (本小题满分13分)
3x2y2如图，椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线x??a和y??b所围成的矩
2ab形ABCD的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点
P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求
|PQ|的|ST|最大值及取得最大值时m的值.
(22) (本小题满分13分)
已知函数f(x)?lnx?k(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y?f(x)在点xe(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)设g(x)?xf?(x)，其中f?(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2.
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参考答案：
一、选择题：
(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B
(12)解：设F(x)?x3?bx2?1，则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解，故其有且仅有两个不同
22零点x1,x2.由F?(x)?0得x?0或x?b.这样，必须且只须F(0)?0或F(b)?0，因为
33232F(0)?1，故必有F(b)?0由此得b?32.不妨设x1?x2，则x2?b?32.所以
323F(x)?(x?x1)(x?32)2，比较系数得?x134?1，故x1??1312.x1?x2?32?0，由此22知y1?y2?二、填空题 (13)
11x1?x2???0，故答案为B. x1x2x1x21111 以△ADD1为底面，则易知三棱锥的高为1，故V???1?1?1?. 6326(14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. (15)
11 当a?1时，有a2?4,a?1?m，此时a?2,m?，此时g(x)??x为减函数，不合4211题意.若0?a?1，则a?1?4,a2?m，故a?,m?，检验知符合题意.
416(16)(2?sin2,1?cos2) 三、解答题 (17)(I)由已知得：
sinB(sinAcosC?cosAsinC)?sinAsinC， sinBsin(A?C)?sinAsinC， sin2B?sinAsinC，
再由正弦定理可得：b2?ac， 所以a,b,c成等比数列.
(II)若a?1,c?2，则b2?ac?2，
a2?c2?b23∴cosB??，
2ac4sinC?1?cos2C?7， 45 / 8
2012山东省高考文科数学试题及答案
