第3讲 坐标系与曲线的极坐标方程
π??
1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，求点?2，6?到直线l的距离．
??π??
解 ∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点?2，6?化为直角坐标为(3，1)∴
??π??
点?2，6?到直线l的距离为2. ??
π??
4，2．(2013·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，求点A?到6???圆心C的距离．
解 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为
π??
x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A?4，6?的直角坐标为(23，2)，
??故点A到圆心的距离为 ?0－23?2＋?2－2?2＝23.
π??
3．求圆心为C?3，6?，半径为3的圆的极坐标方程．
??解 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，
π
则OP＝ρ，∠POA＝θ－6， OA＝2×3＝6，
在Rt△OAP中，OP＝OA×cos∠POA， ?π?
∴ρ＝6cos?θ－6?.
??
?π?∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos?θ－6?.
??
π??
4．(2012·常州一中期中)在极坐标系中，已知点O(0,0)，P?32，4?，求以OP为
??直径的圆的极坐标方程．
解 设点Q(ρ，θ)为以OP为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt△OQP?π?
中，ρ＝32cos?θ－4?，
??
?π?故所求圆的极坐标方程为ρ＝32cos?θ－4?.
??
?π?
5．(2014·扬州市调研)已知A是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B是曲线ρ＝12cos?θ－6?
??上的动点，试求线段AB长的最大值．
解 曲线ρ＝12sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－6)2＝36， 其圆心为(0,6)，半径为6；
?π?
曲线ρ＝12cos?θ－6?的直角坐标方程为(x－33)2＋(y－3)2＝36，其圆心为
??(33，3)，半径为6. 所以AB长的最大值＝
?33－0?2＋?3－6?2＋6＋6＝18.
6．从极点O作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程． 解 设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)． 12
∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝ρ. 12
又M在直线ρcos θ＝4上，∴ρcos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P的轨迹方程．
7．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为 π??π
－≤θ≤?ρ＝2cos θ2， 2???
设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标
方程，得ρ＝cos θ.
π??π?1?
－≤θ≤∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ?2，它表示原心在点?2，0?，2?????1
半径为2的圆．
8．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 解 (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0. ?x2＋y2－4x＝0，(2)由?22
?x＋y＋4y＝0，
①②
①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．
9．(2012·泉州模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22?π?ρcos?θ－4?＝2.
??
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； ?π?因为ρ2－22ρcos?θ－4?＝2，
??
ππ??
所以ρ2－22ρ?cos θcos4＋sin θsin4?＝2，
??所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
2?π?θ＋??化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝. ?4?210．已知圆锥曲线C的极坐标方程为ρ＝
8sin θ
，以极点为坐标原点，极轴为
1＋cos 2θ
x轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离． 解 由ρ＝
8sin θ
，得ρcos2θ＝4sin θ，ρ2cos2θ＝4ρsin θ.又ρcos θ＝x，ρsin θ
1＋cos 2θ
＝y，故所求曲线的直角坐标方程是x2＝4y，故焦点到准线的距离为2. ?x＝t，?11．(2012·宿迁联考)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐?y＝1＋2t?π?标方程：ρ＝22·sin?θ＋4?.
??
(1)将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l和圆C的位置关系．
解 (1)消去参数，得直线l的普通方程为y＝2x＋1. ?π?ρ＝22sin?θ＋4?，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ，
??得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)．
得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(x－1)2＝2. |2－1＋1|25
(2)圆心C到直线l的距离d＝＝5＜2，
22＋12所以直线l和⊙C相交．
12．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若?π?
直线l的极坐标方程为ρsin?θ－4?＝32.
??(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
x2y2
(2)已知P为椭圆C：16＋9＝1上一点，求P到直线l的距离的最大值． 22?π?
解 (1)直线l的极坐标方程ρsin?θ－4?＝32，则ρsin θ－ρcos θ＝32，
22??即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋6＝0.
x2y2
(2)P为椭圆C：16＋9＝1上一点，设P(4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，则P到直线l的距离 d＝
|4cos α－3sin α＋6||5cos?α＋φ?＋6|4
＝，其中cos φ＝5，所以当cos(α＋φ)＝
22
11
1时，d的最大值为22.
创新设计高考数学苏教理一轮题组训练：坐标系与曲线的极坐标方程
