复变函数 第四、五章 练习
一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别
1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。
??n1in（1）? （2）?ncosin （3）?n(1?i)n
n?02n?02n?2lnn?2.如果级数
?cn?1?n收敛，且存在??0,???2,s..,|targcn|??,证明级数?cn绝对收敛.
n?1?二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式
zn3. 证明级数?在|z|?1上发散；在|z|?1内绝对收敛且内闭一致收敛 nn?11?z?4. 试证：黎曼函数
?(z)??1,(lnn?0)，在点z?2的邻域内可展开为泰勒级数，并znn?1?求收敛半径。
5.求下列幂级数的收敛半径： （1）
in （2） （3）(n?a)z[3?(?1)](z?1)()(z?1)n(n?1) ???n?0n?0n?0nnnnnnn????6.设
n的收敛半径为R, 证明：的收敛半径大于等于R。 az[Re(a)]z?n?nn?0n?0?7．若幂级数
?cn?0?nzn在z?1?2i处收敛，试回答该级数在z?2处的敛散性。
??eznn8.设函数的泰勒展开式为?cnz，求幂级数?cnz的收敛半径。
coszn?0n?0z?1在点z??1展成泰勒级数。 3z1210.证明：若|z|?,则|ln(1?z)?z|?|z|. （这里ln(1?z)取主值支）
29. 将函数f(z)?三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理
11. ?为sin1的 阶零点；求函数f(z)?sinz?tanz的零点z?0的阶数。 z312.设f(z)在一个包含圆周?及其内部的区域内解析，而f(z)在?的内部有一个一阶零点
z0，证明z0?1zf?(z)dz。
2?i??f(z)1n1n1(n?1,2,),的函数f(z)是否存在？ n313.问在点z?0解析且满足条件f()?f(?)?14.求|zez|在闭圆{z:|z?i|?1}上的最大值。
15.设f(z)?cosz，证明：在任何圆周|z|?r上，都有点z，使得，|cosz|?1。
四、掌握解析函数的洛朗展式，能求一些初等函数的洛朗展式
16.求函数ez2z?1在0?z?1???内洛朗展开式；求函数
1在1?z?i???内的洛
z(z?i)朗展开式。
17. 若f(z)在R?|z|???内解析且有界，证明f(z)?cn,|z|?R. ?nzn?0?六、掌握孤立奇点（含无穷远点）的各种类型判别以及利用孤立奇点的特征得到解析函数的性态；掌握整函数和亚纯函数
ez18. 求函数f(z)?的奇点及其类型（包括无穷远点）（要求说明理由）。 2sinz19. 设f(z)在z平面上解析，且当z??时，
f(z)?1.证明：f(z)必有一个零点。 z20.试证：在扩充复平面上只有一个一阶极点的解析函数f(z)必有如下形式：
f(z)?az?b,ad?bc?0. cz?d21. 判别下列函数是（超越）整函数还是（超越）亚纯函数:
123ezsinz,tanz,sin,z?,.
zz1?z2
复变函数论第四版第四五章练习
