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所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3. 4
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可. 19．【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点得点A的坐标为
或
，利用两点式求得直线
，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求的方程；
(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.
解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x?1.
由已知可得，点A的坐标为(1,所以AM的方程为y??22). )或(1,?2222x?2或y?x?2. 22
（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
x1?2，x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?y1y2. ?x1?2x2?2由y1?kx1?k，y2?kx2?k得
kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.
(x1?2)(x2?2)
x2将y?k(x?1)代入?y2?1得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.
24k22k2?2所以，x1?x2?2,x1x2?2.
2k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k??0.
2k2?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的
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综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.
20．【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得
，之后对其求
的条件；
导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意(2)先根据第一问的条件，确定出
，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关
系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
218解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C220p(1?p). 因此
18217217 f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).
令f?(p)?0，得p?0.1. 当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；当p?(0.1,1)时，f?(p)?0.所以f(p)的最大值点为p0?0.1.
（2）由（1）知，p?0.1.
（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1)，
X?20?2?25Y，即X?40?25Y.
所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验.
点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.
21．【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间； (2)根据
存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定
，令
，得到两个极值点
是方程
的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
1ax2?ax?1解：（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.
xxx2（ⅰ）若a≤2，则f?(x)≤0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.
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a?a2?4a?a2?4（ⅱ）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.
22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0. 所以f(x)在(0,)，(,??)单当x?(2222a?a2?4a?a2?4,)单调递增. 调递减，在(22
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1. 由于
f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以f(x1)?f(x2)?a?2等价于1?x2?2lnx2?0.
x1?x2x2
设函数g(x)?1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而当
xx?(1,??)时，g(x)?0.
所以1?x2?2lnx2?0，即f(x1)?f(x2)?a?2.
x2x1?x2
点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确. 22．【解析】分析：(1)就根据代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为
，半径为的圆，是过点
且关于轴对称的
，
以及
，将方程
中的相关的量
两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.
解：（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为
(x?1)2?y2?4. （2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆.
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由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|4?2，故k??或
3k2?14k?0. 经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??时，l1与C2只有一个公共点，l2与
3C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以k?|k?2|k2?1?2，故k?0或
44. 经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?时，l2与C2没有公共点. 33综上，所求C1的方程为y??|x|?2.
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果. 23．【解析】分析：(1)将
，利用零点分段将解析式化为的解集为可以化为
； 时
43代入函数解析式，求得
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式
(2)根据题中所给的
，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式
，分情况讨论即可求得结果.
??2,?解：（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?2,?x≤?1,?1?x?1, x≥1.故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}.
12
（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立. 若a≤0，则当x?(0,1)时|ax?1|≥1；
若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?，所以≥1，故0?a≤2. 综上，a的取值范围为(0,2].
2a2a
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点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
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2024年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版-精校版)教学内容
