北京市朝阳区2024届第一学期高三年级期中试卷
数 学
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A?x?Zx?4,B?{?1,2},则AUB?( ) A. {?1} C. {?1,0,1,2} 【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解法求得集合A,根据并集定义求得结果.
【详解】QA?x?Z?2?x?2???1,0,1?,B???1,2? ?AUB???1,0,1,2? 故选:C
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算,涉及到一元二次不等式的求解,属于基础题.
2.已知α∈?B. {?1,2} D. {?2,?1,0,1,2}
?2???3?π?,π?,且sin α=,则tan α=( )
5?2?A.
3 43 4B. ?C.
4 34D. ?
3【答案】B 【解析】
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由sin α=
34sin?3?π???. ,α∈?,π? 得cos α=-1?sin2?=-,所以tan α=
55cos?4?2?故答案为:B。
3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A. y??x3 C. y?log2x 【答案】D 【解析】 【分析】
B. y?sin(?x) D. y?2?2
x?xy??x3与y?sin??x?在?0,1?上单调递减,可排除A,B;y?log2x为偶函数,可排除
C;根据奇偶性定义和单调性的性质可验证出D正确.
3【详解】A中,y?x在?0,1?上单调递增 ?y??x在?0,1?上单调递减,A错误;
3B中,y?sinx在?0,1?上单调递增 ?y?sin??x???sinx在?0,1?上单调递减,B错
误;
C中,log2?x?log2x ?y?log2x为偶函数,C错误;
?xxx?xx?xD中,2?2??2?2 ?y?2?2为奇函数
x?xD2?x在?0,1?上单调递减,2x在?0,1?上单调递增 ?y?2?2在?0,1?上单调递增,
??正确. 故选:D
【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断,属于基础题. 4.关于函数f?x??sinx?cosx有下述三个结论: ①函数f?x?的最小正周期为2?; ②函数f?x?的最大值为2; ③函数f?x?在区间??π?,π?上单调递减. ?2?其中,所有正确结论的序号是( )
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A. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】
B. ①③ C. ②③ D. ①②③
利用辅助角公式化简函数为f?x?????2sin?x??;根据正弦型函数最小正周期和最值的
4??求解可知①正确,②错误;利用x的范围求得x??4的范围,对应正弦函数的单调性可得
f?x?单调性,知③正确.
【详解】f?x??sinx?cosx????2sin?x??
4??f?x?最小正周期T?2?,①正确;f?x?max?2,②错误;
当x????3?5????????,??时,x???x?,fx,则在???,??时单调递减,③正确 ?2444???2???故选:B
【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题;处理正弦型函数单调性问题的关键是能够采用整体对应的方式,利用角整体所处的范围与正弦函数图象相对应,从而得到结论.
5.已知?,?是两个不同的平面,直线m??,下列命题中正确的是( ) A. 若???,则m//? C. 若m//?,则?//? 【答案】D 【解析】 【分析】
通过反例可确定A,B,C错误;由面面垂直的判定定理可知D正确.
【详解】若???且m??,则m与?相交、平行或m??,A,B错误; 若m//?且m??,则?与?可能相交或平行,C错误;
B. 若???,则m?? D. 若m??,则???
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由面面垂直判定定理可知,D选项的已知条件符合定理,则???,D正确. 故选:D
【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定,关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理. 6.已知函数f(x)?|x?2|?kx?1恰有两个零点,则实数k的取值范围是( ) A. (0,1) 2B. (1,1) 2C. (1,2)
D.
(2,??)
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为g?x??x?2与y?kx?1恒有两个交点,采用数形结合的方式作出g?x?图象,由y?kx?1恒过?0,?1?可通过图像确定斜率的临界值,进而得到所求范围. 【详解】f?x??x?2?kx?1恰有两个零点等价于g?x??x?2与y?kx?1恒有两个交点
又g?x??x?2???x?2,x?2,则g?x?图象如下图所示:
2?x,x?2?
Qy?kx?1恒过点B?0,?1?
?如上图所示:
当直线y?k1x?1过A?2,0?时,直线与g?x?有且仅有一个交点 ?k1?且当k2?1时,y?k2x?1与g?x?有且仅有一个交点
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?1??当k??,1?时,g?x??x?2与y?kx?1恒有两个交点,即f?x?恰有两个零点
?2?故选:B
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题,关键是能够将问题转化为两个函数的交点个数问题,进而通过数形结合的方式来进行求解,属于常考题型.
*7.已知{an}(n?N)为等比数列,则“a1?a2”是“{an}为递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
通过q?0且a1?0,可知虽然a1?a2,但此时数列不是递减数列,充分性不成立;根据递减数列的定义可知必要性成立,从而得到结果.
【详解】当等比数列q?0且a1?0时,a2?a1q?0?a1,a3?a2q?0?a2 此时?an?不是递减数列 ?充分性不成立
当等比数列?an?为递减数列时,a1?a2显然成立 ?必要性成立 综上所述:“a1?a2”是“?an?为递减数列”的必要而不充分条件 故选:B
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定,涉及到数列单调性的定义,属于基础题.
x2y28.设F1,F2为椭圆C:??1的两个焦点,M为C上一点且在第二象限.若△MF1F295为等腰三角形,则点M的横坐标为( ) A.
3 2B.
15 2C. ?15 2D. ?3 2【答案】D 【解析】 【分析】
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