§5 从力做的功到向量的数量积
课后篇巩固探究 A组 基础巩固
1.若向量a,b满足|a|=3,a·b=-5,则b在a方向上的射影等于( ) A.15
B.-
C.-
D.-15
解析b在a方向上的射影为|b|cos θ==-.
答案C 2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于( ) A.
B.
C.-
D.-
解析由m⊥n,得m·n=0,
由(m+kn)⊥(m-3n),得(m+kn)·(m-3n)=0,
即|m|2-3k|n|2
=0,
∴3k==4,
∴k=.
答案A 3.若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为( ) A. B. C. D.
答案A 4.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为( )
A.0 B.
C.
D.
解析∵c=a-b,
∴a·c=a·a-·a·b=0, ∴a与c的夹角为
.
答案D 5.如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则()·()等于()
A. B.- C.
D.-
解析∵点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,
∴||=||=||=,∠AOB=∠BOC=∠AOC=,
∴()·()=+3os=-.
答案D 6.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则等于( )
A.
B.6
C.12
D.18
解析如图,过点O作OD⊥AB于点D,易知AD=AB=3,则
=()·=3×6+0=18,故选D.
答案D 7.已知|a|2=1,|b|2
=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为 .
解析设a与b的夹角为θ,由已知得a2
=a·b,
又|a|=1,|b|=,
∴1·cos θ=1.
∴cos θ=.
又θ∈[0°,180°], ∴θ=45°. 答案45° 8.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为 . c
解析由=8,得16×cos A=8,即cos A=,∠A=60°,又AB=AC,所以△ABC是等边三角形.
答案等边三角形
9.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+3b|= .
222
解析∵|a+3b|=a+2a·3b+9b
=1+6×1×2×cos 60°+9×4=43,
∴|a+3b|=答案
.
10.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求值:
(1)a·b;
(2)(2a+b)·(a-2b); (3)|2a-3b|.
222222
解(1)∵|a+b|=(a+b)=a+2a·b+b=|a|+2a·b+|b|,
∴a·b=×(|a+b|2-|a|2-|b|2)=2
2
2
×(21-42-52)=-10.
2
2
2
(2)(2a+b)·(a-2b)=2a-3a·b-2b=2|a|-3a·b-2|b|=2×4-3×(-10)-2×5=12. (3)|2a-3b|=
=11.如图,在四边形ABCD中,则四边形ABCD是什么形状?
.
=a,
=b,
=c,
=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,
解∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,
2222
即a+2a·b+b=c+2c·d+d.
2222
又a·b=c·d,∴a+b=c+d,
2222
即|a|+|b|=|c|+|d|. ①
2222
同理可得|a|+|d|=|b|+|c|. ② ①-②,得|b|2=|d|2,
①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|. 同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.
∵,∴a=-c.
又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,
即b·(2a)=0.∴a·b=0,
∴.故四边形ABCD为正方形.
B组 能力提升
1.若
A.直角三角形 C.锐角三角形 解析∵=0,则△ABC为( )
B.钝角三角形 D.等腰直角三角形
=0,∴·(
)=0,
=0,
∴∴答案A =0,∴,
∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形.
2.在△OAB中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上的任意一点,则A.6 B.-6 解析如图,设AB的中点为M,则
C.12
D.-12
=( )
=()·)·()=)=-6.
答案B 3.下列四个命题:①若a-b=0,则a=b;②若a·b=0,则a=0或b=0;③若λ∈R且λa=0,则λ=0或a=0;④对任意两个单位向量e1,e2,都有e1·e2≤1.其中正确的命题是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
解析①是正确的;因为a·b=|a||b|cos θ=0?|a|=0或|b|=0或cos θ=0?a=0或b=0或θ=90°,故②是错误的;③是正确的;④中,e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ≤1,故④是正确的. 答案C 4.设a,b是非零向量,x∈R,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有( ) A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b|
222
解析f(x)=-a·bx+(a-b)x+a·b.
∵f(x)的图像是一条直线,∴a·b=0,a⊥b. 答案A 5.在矩形ABCD中,AB=是( ) A.-5-
B.5+
C.4+
D.5-
,BC=4,点E为BC的中点,点F在CD上,若
,则
的值
解析如图所示,过点F作FG∥AD交AB于点G,易知=||·||·cos∠
BAF=||·||=,故||==1,
所以
=(×(
答案B )·()=,故选B.
=0--1)+2×4+0=5+6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,CB=4,设为 .
=b,=a,=c,则a·b+b·c+c·a的值
解析由勾股定理得BA=5,又cos B=,cos A=,故a·b+b·c+c·a=0+3×5×答案-25 7.平面上三个向量是 . 解析满足|+4×5×=-25.
|=1,||=,||=1,=0,则的最大值
=()·()=-()·=1-||·||cos
θ=1-2cos θ,其中θ为向量答案3 8.的夹角,当θ=π时,取得最大值3.
导学号93774076已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b
与q=a-b夹角的余弦值.
2222
解p·q=(a+b)·(a-b)=a-b=|a|-|b|=3-1=2.
∵|p|=|a+b|==|q|=|a-b|==设p与q的夹角为θ,
,
=1,
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课后篇巩固探究含解析北师大版必修40416113.doc
