[巩固层·知识整合] (教师用书独具)
[提升层·题型探究]
空间向量及其运算 【例1】 (1)在空间四边形O-ABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的→→→→
中点，G为△ABC的重心，用基向量OA，OB，OC表示向量MG．
(2)已知三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． ①求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
→→
②若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标． [解] (1)如图，连接AG并延长交BC于点D．
∴D为BC的中点， →1→→∴AD＝2(AB＋AC)．
→2→1→→
∵G为△ABC的重心，∴AG＝3AD＝3(AB＋AC)，
→→→→→→又∵AB＝OB－OA，AC＝OC－OA， →1→→1→→→
∴AG＝3(AB＋AC)＝3(－2OA＋OB＋OC)． 1→→
∵M为OA的中点，∴AM＝－2OA．
1→1→1→1→→→→1→→→
∴MG＝AG－AM＝3(－2OA＋OB＋OC)＋2OA＝－6OA＋3OB＋3OC． →→
(2)①由题意，可得AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，
→→－2＋3＋6AB·AC71→→→→
所以cos〈AB，AC〉＝＝＝14＝2，所以sin〈AB，AC〉
→→14×14|AB||AC|31→→→
＝2，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝2×2|AB|·|AC|·sin〈AB，3→
AC〉＝14×2＝73．
x2＋y2＋z2＝3，??
②设a＝(x，y，z)，由题意，得?－2x－y＋3z＝0
??x－3y＋2z＝0.x＝1，??
解得?y＝1，
??z＝1，
，
x＝－1，??
或?y＝－1，??z＝－1.
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
1．向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
2．熟记空间向量的坐标运算公式 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
(3)向量夹角：cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2＋z1z2
． 22222
x2＋y＋z·x＋y＋z111222
(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， →
则|M1M2|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2．
提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．
[跟进训练]
→→
1．已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标；
→→
(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD，求y与λ的值．
→
[解] (1)设B(x，y)，∵A(－1，－2)，∴AB＝(x＋1，y＋2)＝(4,3)， ???x＋1＝4，?x＝3，∴?解得?即B(3,1)， ???y＋2＝3，?y＝1，同理可得D(－4，－3)．
?1?∴线段BD的中点M的坐标为?－2，－1?．
??→→
(2)∵PB＝(1,1－y)，BD＝(－7，－4)， →→
由PB＝λBD得(1,1－y)＝λ(－7，－4)， ??－7λ＝1，∴???1－y＝－4λ，
3
y＝??7，∴?1
λ＝－??7.
利用空间向量证明平行、垂直问题 【例2】 四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
第1章 章末综合提升-【新教材】人教B版(2024)高中数学选择性必修第一册讲义
