04.1 圆的切线与切线长习题与答
案(总3页)
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一、切线
切线长定理中的基本图形:
圆的切线1
如图,PA,PB为⊙O的切线,A,B分别为切点,则有: (1)两个等腰三角形((3)三个垂直关系(OA
1.遇到有切线时
常添加过切点的半径(连结圆心和切点)。(图1)
OCBEADP, PA, OB
); , OP
AB)。
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB 和 ∠AOB);
图1 图2 图3 2. 遇到证明某一直线是圆的切线时
(1)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径),再证其与直线垂直。 (图2) (2)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径。(图3)
图4 图5 3.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等。 (图1) 4. 遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。 (图4) 遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点。 (图5) 一、圆中有切线,常作过切点的半径(有点,过圆心作切线的垂线)
例1.如图,已知MN为⊙O的直径,AP是⊙O的切线,P为切点,点A在MN的延长线上,若 PA=PM,求∠A的度数。
解:连结OP,设∠A的度数为x。
∵PA=PM,∴∠M=∠A,同理可得∠OPM=∠M,
∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。又∵AP切⊙O于点∴AP⊥OP,∴∠A+∠POA=90°,即x+2x=90°,解之得∴∠A=30°。
证明:连接OA、OB.
∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°. ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠AOP=∠BOP. 又∵OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP. ∴∠OPB=∠OAP=90°. ∴PB是⊙O的切线.
P,
x=30°,
例2: 如图,PA是⊙O的切线,切点是A,过点A作AH⊥OP于点H,交⊙O于点B.求证:PB是⊙O的切线.
1
例3.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D,求证∠1=∠2。
证明:连结OC。
∵DC切⊙O于点C,∴OC⊥DC。又∵AD⊥DC,∴OC∥AD, ∴∠1=∠3。∵OA=OC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2。
评析:当欲求解的问题中含有圆的切线时,常常需要作出过的半径,利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间
切点
的联系。
例4、如图,AB、AC与⊙O相切有与B、C点,∠A = 50°,点P优弧BC的一个动点,求∠BPC的度数。
解:连结 OB、 OC , ∵ AB、AC是⊙O的切线 ∴ AB⊥OB, AC⊥OC, ∴∠ABO = ∠ACO = 90° 在四边形ABOC中,∠A = 50°
∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO
= 360°- 50°- 90°-90° = 130° ∴ ∠BPC = ∠BOC = 65°
例5、已知:MN 切⊙O于A点,PC是直径,PB ⊥ MN于B点,求证:
= PB ·PC
分析: = PB ·PC
=
证明:连结AC、AP
∵ PC是⊙O的直径 ∴ ∠CAP = 90 ° ∵ PB ⊥ MN ∴ ∠PBA = 90 ° ∴ ∠CAP = ∠PBA ∵ MN 是⊙0的切线 ∴ ∠BAP = ∠ ACP ∴PAB ∽ PCD = = PB ·PC
系,使问题得以解决。
二、无公共点,利用圆心“作垂直,证半径”判定切线 1、 如图,在Rt
∠ABC =
,∠BAC的平分线交BC于点D,
以点D为圆心,DB长为半径作⊙O。求证: AC与圆D相切。
2、已知:□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点. 求证:AD也和⊙O相切.
PAB ∽ PCA
在解决有关切线问题时,常作过切点的半径,利用切线的性质定理;或者连结过切点的弦,利用弦切角关
ADOBE 习题一 题1 题2
C1、 如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB上任意一点,过C作⊙O的切线分别交
PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为______________。
ADOCP2