?a?BS=?a1?a?2bb1b2c??c1?c2???000??3c???000??=?3c1?311??3c???2cc1c2c??c1?， c2??可是c1?c?0，
?3a?a1?a2?3c2又 ?，
3b?b?b?c122?即???3c2?3a??a1?a2，
c?3b?b?b12?2该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,c2，并 令b=1，其余为0，得c2=3,a=3; 令a1=1，其余为0，得c2=3,a=?令b1=1，其余为0，得c2=1,a=1; 令a2=1，其余为0，得c2=0,a=?令b2=1，其余为0，得c2=1,a=1; 则与A可交换的矩阵为
1; 31; 3?a? B=?a1?a?2bb1b20??0?， c2??其中,a,c2可经b,a1,a2,b1,b2表示,所求子空间的一组基为
?1??00???100??310?3???????000?, ?100? ,?010?, ?003??000??001?????????且维数为5。
?1?00????3?000?? , ?100??????100????000?， ?011???15．如果 c1a?c2??c3??0,且c1c3?0，证明：L?a,??=L??,??。 证 由c1c3?0，知c1?0,所以a可
?,?经线性表出，即?,?可经?,?线性表出，
同理，?,?也可经?,?线性表出。故L?a,??=L??,??。
16．在P中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设
4?a1??2,1,3,1??a?(1,2,0,1)?21）? ，
?a3?(?1,1,?3,0)??a4?(1,1,1,1)?a1??2,1,3,?1??a?(?1,1,?3,1)?2 。 ??a3?(4,5,3,?1)??a4?(1,5,?3,1) 解 1）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a1,a2,a4，因此a1,a2,a4为L?a1,a2,a3,a4?的一组基，且的维数是3。
2）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组为a1,a2，故a1,a2是L?a1,a2,a3,a4?的一组基，且维数为2。 17．在P4中，由齐次方程组
?3x1?2x2?5x3?4x4?0??3x1?x2?3x3?3x4?0 ?3x?5x?13x?11x?0234?1确定的解空间的基与维数。
解 对系数矩阵作行初等变换，有
?32?54??32?54??32?54???????3?3???0?38?7???0?38?7? ?3?1?35?1311??03?87??0000???????所以解空间的维数是2，它的一组基为 a1????18??27?,,1,0?，a2??,,0,1?。 ?93??93?18.求由向量?1,?2生成的子空间与由向量?1,?2生成的子空间的交的基与维数，设 1）??a1??1,2,1,0?
??a??1,1,1,1?2??1??2,?1,0,1?； ?????1,?1,3,7?2??1??0,0,1,1?； ???2??0,1,1,0???1??2,5,?6,?5?。 ??????1,2,?7,3?2 2）??a1??1,1,0,0?
?a2??1,0,1,1??a1??1,2,?1,?2?? 3）?a2?(3,1,1,1)
?a?(?1,0,1,?1)?3解 1）设所求交向量 ??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2， 则有 k1?1?k2?2?l1?1?l2?2?0，
?k1?k2?2l1?l2?0?2k?k?l?l?0?1212 即 ??k1?k2?3l2?0??k2?l1?7l2?01?1?2 可算得D?，
?11210111?0， 且20?31?1?711?1?2111?0 ， 0 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解(k1,k2,l1,l2)＝
(?1,4,?.3,1)，得一组基 ????1?4?2?(?5,2,3,4)，
所以它们的交L(?)是一维的，?就是其一组基。 2）设所求交向量 ??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2，
?k1?k2?0?k?l?0?12 则有 ? ，
k?l?l?0?212??k2?l1?0 因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即k1?k2?l1?l2?0,从而 交的维数为0。
3）设所求交向量为 ??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2，
?k1?3k2?k3?2l1?l2?0?2k?k?5l?2l?0?1212 即 ?，
??k1?k2?k3?6l1?7l2?0???2k1?k2?k3?5l1?3l2?01由
3?11011?27?0 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令l1?1,，可
2?11?21?1?3得l2?0，因此交向量??l1?1?l2?2??1就是一组基。
19． 设V1与V2分别是齐次方程组x1?x2?...?xn?0,x1?x2?...?xn?1?xn的解空间，
n证明：P?V1?V2.
证 由于x1?x2?...?xn?0的解空间是你
n－1维的，其基为而
由
?1?(?1,1,0,...,0),?2?(?1,0,1,...,0),...,?n?1?(?1,0,0,...,1)x1?x2?...?xn?1?xn
知其解空间是1维的，令xn?1,则其基为??(1,1,...,1).且?1,?2,...,?n?1,?即为Pn的一组
nnn基，从而P?V1?V2.又dim(P)?dim(V1)?dim(V2)，故 P?V1?V2.。
20． 证明：如果V?V1?V2,V1?V11?V12,那么 V?V11?V12?V2。 证 由题设知V?V11?V12?V2, 因为 V?V1?V2,所以
dim(V)?dim(V1)?dim(V2)， 又因为V1?V11?V12, 所以 dim(V1)?dim(V11)?dim(V12), 故dim(V)?dim(V11)?dim(V12)?dim(V2)，
即证V?V11?V12?V2。
21. 证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
证 设?1,?2,...,?n是n维线性空间V的一组基。显然L(?1),L(?2),...,L(?n)都是V
的一维子空间，且 L(?1)?L(?2)?...?L(?n)?L(?1,?2,...,?n)＝V ，又因为 dim(L(?1))?dim(L(?2))?...?dim(L(?n))?dim(V)， 故 V?L(?1)?L(?2)?...?L(?n)。 22．证明：和
?Vi?1si是直和的充分必要条件是Vi?i?1?Vj?1i?1j?{0}(i?2,...,s)。
证 必要性是显然的。这是因为Vi?i?1?Vj?1j?Vi??Vj?1j?{0}，所以
Vi??Vj?1j?{0}。
s 充分性 设
?Vi?1i不是直和，那么0向量还有一个分解0??1??2?...??s，
其中?j?Vj(j?1,2,...,s)。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是?k(k?s), 则0??1??2?...??k?1??k ，即 ?1??2?...??k?1???k，
因此?k??Vj?1k?1j,?k?Vk,，这与Vk??Vj?1k?1j?{0}矛盾，充分性得证。
23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成
一个三维线性空间R3。
1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间
2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1,L2,L3,
问L1?L2,L1?L2?L3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;
3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足U+V＝X，X?Y，是否一定有Y?YIU?YIV。 解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在
不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。
2)L1?L2 ；
（1）直线l1与l2重合时，是L1?L2一维子空间； （2）l1与l2不重合时，时L1?L2二维子空间。
L1?L2?L3 ：
（1） l1,l2,l3重合时，L1?L2?L3构成一维子空间； （2） l1,l2,l3在同一平面上时，L1?L2?L3构成二维子空间； （3） l1,l2,l3不在同一平面上时，L1?L2?L3构成三维子空间。
3） 令过原点的两条不同直线l1，l2分别构成一维子空间U和V，X＝U＋V是二维子空
间，在l1，l2决定的平面上，过原点的另一条不与l1，l2相同的直线l3构成一维子空间Y，显然Y?X,Y?U?{0},Y?V?{0},因此(Y?U)?(Y?V)?{0}， 故Y?(Y?U)?(Y?V) 并不成立。
二．补充题参考解答
1．1）证明：在P[x]n中，多项式fi?(x??1)...(x??i?1)(x??i?1)...(x??n) （i＝1，2，…，n）是一组基，其中?1,?2,...,?n是互不相同的数；
2)在1）中，取?1,?2,...,?n是全体n次单位根，求由基1，x,...,xn?1到基f1,f2,...,fn
高等代数(北大版)第6章习题参考答案
