第五章
特征值和特征向量
一、特征值与特征向量
定义 1
A
： A
是 n 矩 ， 一个数，若存在非零向量
，使
，
称数 矩 A的特征 ，非零向量
矩 A 的 于特征
的特征向量。
定义 2： E
A f ( ) ，称 矩 A 的特征多 式，
f ( ) = E A
0 ，称 矩 A 的特征方程， 特征方程的根称 矩
A 的特征根
矩
E A 称 矩 A 的特征矩
次方程 （
A
E) X
0 称 矩 A 的特征方程 。
性质 1
A
： 等式
作恒等 形， 得（ A E)
0 ，于是特征向量
是 次方程 （ A
E) X 0 的非零解向量，由 次 性方程 有非零解的充要
条件知其系数行列式 零，即
A E 0 ， 明 A 的特征 E A
0 的
根。
由此得到 特征向量和特征 的另一种 ：
A
A
E
0
E A
（ 1） 是
的特征
，即 (
- ) 不可逆 . （ 2）
是属于 的特
征向量
是 次方程 （
A E) X 0 的非零解 .
计算特征值和特征向量的具体步骤为 ： （ 1） 算 A 的特征多 式，
E A
f ( ) （2）求特征方程
f ( ) = E A 0 的全部根，他 就是 A 的全
部特征 ；（ 3
）然后 每个特征
，求 次方程 （
A E) X
0 的非零解，
即属于 的特征向量 .
性 质 2： n
矩 A 的 相 异 特 征
1 , 2
m 所
的 特 征 向 量
1, 2 ??
性无关
性质 3：
1, 2 , ?,n 是 A 的全体特征 ， 从特征多 式的 构可得到：
（ 1） 1
2
n
+ +?+
=tr( A)( A 的迹数，即主 角 上元素之和). （ 2） 1 2? n= A .
性质 4：如果 是 A 的特征 ，
（ 1） f( )是 A 的多 式 f(A )的特征 .
(2) 如果 A 可逆， 1/ 是 A-1 的特征 ; |A |/ 是 A* 的特征 .
即： 如果 A 的特征 是
1 2 n
, ,
?, ，
（ 1） f(A )的特征 是 f(
1),f(
2), ? ,f( n).
（ 2）如果 A 可逆， A -1
的特征 是 1/
1,1/ 2, ? ,1/ n; 因
AA
A
，
A* 的特征 是 |A |/ 1 ,|A |/ 2, ? ,|A|/ n.
性质 5：如果
是 A 的特征向量，特征
，即 A
（ 1） 也是 A 的任何多 式
f(A )的特征向量，特征 f( )；
（ 2）如果 A 可逆，
也是 A -1 的特征向量，特征
1/ ；
也是 A* 的特征向量，特征
|A|/ 。
kA k aA bE
a b
1 是 A 的特征值 , 则:
A 1 分别有特征值
2
.
A2
Am m
A
A
是 A 关于
的特征向量，
也是上述多 式的特征向量。
推论：（1） 于数量矩
E，任何非零向量都是它的特征向量，特征 都是
.
（ 2）上三角、下三角、 角矩 的特征 即 角 上的各元素
.
（ 3） n 矩 A 与他的 置矩 AT 有相同的特征多 式，从而有相同的特
征 ，但是它 的特征向量可能不相同.
1
例
题
5. 零 矩 A 的特征 是 A 不可逆的
(A) 充分条件
(B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件
1 2
一、特征值、特征向量
1 1 0
1 1
0
4 1
3 0 且 A 的特征 0 2
解：假 1, 2 , ,
n A 的所有特征 ,| A | n . 所以
1. A4 1
3 0 , B
0 2
2 和 1(二重 ), 那么 B 特征 。
0A 的特征 A 可逆 (C) 答案 .
,
6. 1,
2 是矩 A 的两个不同的特征
与 是 A 的分 属于
1 , 2 的特征向 解： A, AT 具有相同的特征 . B AT ,
所以 B 和 A 具有相同的特征 ， B 的特
征 : 2 和 1(二重 )。
2. A 是 n 方 ,
A*
A 的伴随矩 , |A| = 5,
方 B
AA* 的特征 是 ___,
特征向量是 ______.
解：因
AA* A* A | A | E , 所以 于任意 n 向量 有AA*
| A|E
| A|
所以 |A| = 5 是 B
AA* 的特征 , 任意 n 向量
的特征向量。
3.三 方 A 的特征 1, － 1, 2, B
2A3
3A2 的特征 _______.
解： 2 13
3 12 1, 2 ( 1) 3 3 ( 1)2 5, 2 23
3 22
4，
3. An 矩 ， A 0 ， A* A 的伴随矩 ， E n 位矩 ，若
A 有特
征 ， ( A* ) 2
E 必有特征 ? A ?
A
A 2
解：因
A
A ， A 的特征
，所以上式的特征 ：
( )
1
4. n 矩 A 的特征 1, 2, ? , n, 求 | 2A
E |.
解 ： 因A 的 特 征1, 2, ? , n,
所 以 2A
+ E 的 特 征
n
2i 1 (i 1,2, , n) . 所以 | 2 A E |
( 2i 1) 。
i 1
量 , 有 与 是
(A) 性相关 (B) 性无关 (C) 分量成比例
(D) 可能有零向量
7. 1,
2 是矩 A 的两个不同的特征
, , 是 A 的分 属于
1 , 2 的特征向量 ,
(A)
任意 k1 0, k2 0 , k1 k2 都是 A 的特征向量 .
(B) 存在常数 k1 0, k2 0 , k1 k2 是 A 的特征向量 .
(C) 当 k1
0, k2 0 , k1 k2 不可能是 A 的特征向量 .
(D) 存在惟一的一 常数 k1 0, k2
0 , 使 k1
k2 是 A 的特征向量 .
解：
1
2 A 的二个相异的特征 , 所以存在非零向量 , , 足
A
1 , A
2
. 而且 ,
性无关 .
假 存在
足 : A(k1 k2 ) (k1 k2 )
所以 1k
1
2k
2
k1
k2 , 即
( 1k1
k1 ) ( 2k2 k2 ) 0
因 ,
性无关 , 所以
1k
1
k1 = 0,
1 ; 1k2k2 = 0, 2 . 和
1
2 矛盾 . 所以 (C) 答案 .
2
8. 设 0 是 n 阶矩阵 A的特征值 , 且齐次线性方程组 (
0 E A) x 0 的基础解系
和
为
1
2 , 则 A 的属于 0 的全部特征向量是
和
或
(A)
1
2
(B)
1
2
(C) C1 1
C2 2 ( C1 , C 2 为任意常数 )
(D) C1 1 C2 2 ( C1 ,C 2 为不全为零的任意常数 )
和 解 . 因为齐次线性方程组 ( 0 E A)x 0的基础解系为
1
2 , 所以方程组 (
0
E
A) x 0 的全部解为 C1 1 C2 2 ( C1 , C 2 为任意常数 )，但特征向量不能 为零 , 则 A 的属于 0 的全部特征向量是 :
C1 1
C2
2 ( C1, C2 为不全为零的 任意常数 ), (D) 为答案 .
3 1 2
9.设
A
0 的特征值，
1是矩阵1 4
t
0
1
求：（ 1） t 的值； (2) 对应于
1 的所有特征向量。
解：因为 1， A E 0
t 0 0
t 为任意实数。
（ 2） t
0, 1时
4 1 2 4 1 2 0 1 2
0 1 2
A E
0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 0 0
t 0
0 1
0
0
1
0
0 1 0
0
所以 r( A E ) 2 . 方程组 ( A
E ) x 0 基础解系所含解向量个数为
1 个
x2 2x3 0
T
相应的方程组为
0
. 取 x3 1, 得 x2 2 . 所以解向量为 0,2,1
,
x1
对应于
的全部特征向量为
T
1
k 0,2,1
当 t 0, 1 时
4
1 2 4 1 2 4 0 0 1 0 0 A E
0 2 4 0 1
2
0 1 2
0 1 2
0
0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
所以 r ( A E ) 2 ，方程组 ( A E )x 0 基础解系所含解向量个数为 1 个
相应的方程组为
x1 0 . 取 x3 1, 得 x2 2 . 所以解向量为 0,2,1 T ,
x2 2 x3 0
对应于
1的全部特征向量为 k 0,2,1 T 。
10.设 A 是 3 阶矩阵，且矩阵 A 的各行元素之和均为 5，求矩阵 A 的特征值、
特征向量。
1
1
2 1 2 1 1
1
A 1
5 1 11 题答案：
5 a
3 1 1 a 3
1
1
1 b 2 1 1
b
0
2 1 2
11. 已知
1,1, 1 T 是 5 a
3 的特征向量 ，求 a, b 和
的特征值。
1 b
2
12.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2=A ，求矩阵 A 的特征值。
解：
2
0
0
0 或者
A A
A A E
A 0 或者
A E 0
1
1
T
13.设向量
1 ,
2
n ，
b1 ,b2 bn 都是非零向量，且满足条件
T
0 ，记 n 阶矩阵 A
T ，求：（ 1） A2 （ 2）求 A 的特征值与特征向量。
解 :
3
(2) 设
为特征值，
Ax x ， x 不为零， A2
x
Ax
2
x
任意 n 个线性无关的特征向量都是它的特征向量，可选
n 个单位向量。
a 1 c
14. 设矩阵 A 5 b 3 ，其行列式
A
1
，又 A 的伴随矩阵 A* 有一个特征
1 c
0
a
值 0 ，属于 0 的一个特征向量为 ( 1, 1,1)T ，求 a、b、c 和 0 的值
解：因为 A
?
A A
，所以 A 的特征值
1
A
?
0
A
?
A 0 A
1 ，所以
也是 A 的特征向量。
A
0
0
a 1 c 1
1 1
1
5 b 3 1 a c, b3, 0 1
1 c
0
a 1
0
1
又因为 A
1 ，代入可得： a c 2
15. 设 a
1,0, 1 T ，矩阵 A aaT ， n 为正整数，则 aE
An
解：
， A E 2 0
1 2
0, 3 2
16. 若 3 维列向量
,
满足
T
2 ，其中
T
为 的转置，则矩阵
T
的非零
特征值为：
1
T
T
T
解： 1 , 2 ， 2 , 3 2
1 12 2
3 3 2
3
A A 2 A
2
2 2
二、相似矩阵
定义 1： 设 A B 都是 n 阶矩阵 若有 n 阶可逆矩阵 P 使 P 1AP B。
则称 B 是 A 的相似矩阵 或说矩阵 A 与 B 相似，记作 A∽ B， 可逆矩阵 P 称为相似
变换矩阵。
相似是矩阵之间的一种重要关系，它满足：自反性、对称性、传递性。
相似矩阵的性质 ：
① A B ， 从而 A, B 同时可逆或不可逆。
② r ( A) r ( B)
③ E A
E B , 从而 A, B 有相同的特征多项式，有相同 的特征值 , 但特征向量不一定相同。
④ tr ( A) tr (B)
证明：
因为 A与 B相似
所以有可逆矩阵 P 使 P 1AP B 因此 1|
B E
AP P 1 E P
A E P | | P 1AP E
| | P
( ) |
1 P 1 A E P A E 即 A与 B有相同的特征多项式 | P ( ) | | | | | | | |
| ⑤若 A∽ B，则 f ( A) ∽ f ( B) ，即 A-1 ∽ B-1 ， AT∽ BT， AK∽ BK
⑥ 数量矩阵只与自己相似
.
⑦ 因相似的矩阵有相同的秩， 即相似的矩阵一定等价，
但等价的矩阵不一定相似。
三、矩阵的相似对角化
定义 1：对任意 n 阶矩阵 A 寻求相似变换矩阵 P 使 P 1AP
为对角阵 称为矩阵 A 的相似对角化。
假设已经找到可逆矩阵
P 使 P 1AP 为对角阵 我们来讨论 P 应满足什么关系
1 2 n 1
把 P 用 其 列 向 量 表 示 为 P ( p
p
p ) 由 P AP 得 AP P 即4
1
1
p1
2
p2
npA(p 1, p 2 , , p n )
(p 1, p 2 , , p n )
2
(
)
n
n
于是有 Api
i
p
i
i n
(
1 2 )
可 i
是 A的特征 而 P 的列向量 pi 就是 A的 于特征
i
的特征向量
反之
由上 知 A 恰好有 n 个特征 并可 地求得 n 个特征向量 n 个特征
向量即可构成矩
P 使 AP P ( 因特征向量不是唯一的
所以矩 P也不是唯一的
并且 P 可能是复矩 )
由上面 可知， A 能否与 角 相似， 取决于 P 是否可逆， 即 p1, p2 pn 是
否 性无关，当 p1, p2
pn 性无关 （此
P 可逆）， 由 AP=P ，得 P 1AP
，
即 A 与 角 相似。 上所述，有：
定理 1：n 矩 A与 角 相似 ( 即 A 能 角化 ) 的充分必要条件是
A有 n 个
性无关的特征向量
推论： 如果 n 矩 A的 n 个特征 互不相等
A 与 角 相似
且 1
=
2
n
当 A 的特征方程有重根 就不一定有 n 个 性无关的特征向量
从而不一定
能 角化
定理 2：设 1 , 2
m 是 n 矩 A 的互异特征 ，其重数分
m
r1 , r2 rm 且 ri
n ， A 与 角 相似的充要条件 :
i 1
r ( A i
E) n ri （ i=1 ， 2，?? m）
5
即 ri 重特征
i 有 ri 个 性无关的特征向量，
n 矩 A 与 角 相似
2 0 0
2 0 0
1.已知矩 A
0 0 1 与B 0 y 0 相似 ,x = _____, y = ______.
0 1 x
0 0
1
2 0 0
2 0 0
解：因 A, B 相似 , 所以 | A|
0 0 1
2 | B | 0 y 0
2y, y 1.
0 1 x
0 0 1
相似矩 的迹相等
: tr ( A) 2 x tr (B) 2 y
1 2 . 于是 x 0 .
的 置，若矩
T 2 0 0 1.,
3 列向量，
T
相似于 0
0 0 ， T
0
0 0
a1
a1 1
解：
T
，相似矩 的迹相等。
a2 1
2
3 a2
2 a3
a3 3
1
T
a
1 , 2 ,
3
2 1 1
2 2
3 3
2
3
3 0 0
1.a 1,1,1 T ,
1,0, k
T
，若矩
T
相似于
0 0 0 ， K=
0 0 0
解： 1 0 k 3 k 2
2.与 n 位矩 E 相似的矩 是
(A) 数量矩 kE (k 1)
(B) 角矩 D (主 角元素不 1)
(C) 位矩 E
(D) 任意 n 矩 A
解：令 P
E, 则 P 1
E . 所以 P 1 EP
EEE E . 所以 (C) 是答案 .
3. A 2 矩 ，
1
,
2 性无关的 2
列向量， A
1
0, A
2
2 1
，2
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案.doc
