∴sin（2α+）＝
）的值是
．
＝．
综上，sin（2α+故答案为：
．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．
14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，
由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；
要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根， 则f（x）＝交点，
由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得
，解得k＝
（k＞0），
，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同
∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝， ∴≤k＜
．
）．
即k的取值范围为[，故答案为：[，
）．
【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想
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方法，是中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．【分析】（1）由余弦定理得：cosB＝
＝
＝，由此能求出c的值．
2
2
（2）由＝
＝，利用正弦定理得2sinB＝cosB，再由sinB+cosB＝1，能求出sinB，由此利用诱导公式能求出sin（B+
）的值．
，cosB＝
【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． a＝3c，b＝
，cosB＝，
∴由余弦定理得： cosB＝
＝
＝，
解得c＝（2）∵
． ＝
，
，
∴由正弦定理得：∴2sinB＝cosB， ∵sinB+cosB＝1， ∴sinB＝∴sin（B+
，cosB＝）＝cosB＝
， ．
2
2
【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1． （2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E． 【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点， ∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1， ∵DE?平面DEC1，A1B1?平面DEC1， ∴A1B1∥平面DEC1．
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解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC． ∴BE⊥AA1，BE⊥AC，
又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1， ∵C1E?平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．
【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；
（2）求出D的坐标，得到可求得点E的坐标．
＝
，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即
【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，
∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A， ∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2， ∵c＝1，∴b＝a﹣1，则椭圆方程为
2
2
，
取x＝1，得又DF1＝，∴
，则AD＝2a﹣＝．
，解得a＝2（a＞0）．
∴椭圆C的标准方程为；
（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），
∴＝
，则BF2：y＝
，
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联立，得21x﹣18x﹣39＝0．
2
解得x1＝﹣1或∴
．
（舍）．
即点E的坐标为（﹣1，﹣）．
【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．
18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）
设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；
（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；
（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．
【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM， AB为圆O的直径，可得AM⊥BM， 即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，
以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）
（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，
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则kBP?kAB＝﹣1， 即
?
＝﹣1，
＝15；
解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝
（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0）， 则kQA?kAB＝﹣1，即
?
＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），
由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，
所以P，Q中不能有点选在D点；
（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB＝（a+8）+144≥225， QA＝b+36≥225，则b≥3
2
2
2
2
，当d最小时，PQ＝17+3．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．
19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a），根据f（4）＝8，可得（4﹣a）＝8，解得a．
（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝
．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可
＝
＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）．利
2
2
2
3
3
得：只有a＝3，b＝﹣3，可得
用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．
（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x﹣（2b+2）x+b．△
2
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2024年江苏省高考数学试卷以及答案解析
