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第八、九章 知识小结
一．积
１. 定义: V为?上线性空间，V上定义运算（-,-）: ?x,y,z?V，?k?? 定义（x, y）??，满足
（１） 对称性 (x,y)?(y,x)
（２） 线性性 (x?y,z)?(x,z)?(y,z)，(kx,y)?k(x,y) （３） 非负性 (x,x)?0，且等号成立当且仅当x?0时. 称V为积空间．当dimV?n???时，称为欧氏空间． 以下讨论仅限于欧氏空间，即均设V为n维欧氏空间
|x|?(x,x)，d(x,y)?|x?y|，cos??注：在?nT(x,y).
|x||y|，定义积(x,y)?xy，即为典型的标准积空间.
２. 几个不等式
Cauchy－Schwarz不等式：(x,y)?|x||y| 等号成立当且仅当x, y线性相关． 三角不等式：|x?y|?|x|?|y|, 等号成立当且仅当x, y夹角为０;
|x?y|?|x|?|y|, 当且仅当(x,y)?0，勾股定理：即x, y正交，或x, y＂垂直＂
或x?y时.
222
二．正交向量组
1. 定义：非零向量组?1,L,?m?V，满足(?i,?j)?0,i?j
2. 性质：?1,L,?m是非零正交向量组，必是线性无关组；反之，任一线性无关组均可经过Schmidt正交化为与之等价的正交向量组.
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三．标准正交基
１. 定义：?1,L,?n?V是一个基，满足(?i,?j)??ij?? ２. 在标准正交基下，向量的运算被简化：
?1?0i?ji?j，i,j?1,2,L,n
x?(x,?1)?1?(x,?2)?2?L?(x,?n)?n?(?1,L,?n)X;
|x|?(x,?1)2?(x,?2)2?(x,?n)2?XTX; 设y?(y,?1)?1?(y,?2)?2?L?(y,?n)?n?(?1,L,?n)Y, 则
(x,y)?(x,?1)(y,?1)?(x,?2)(y,?2)?L?(x,?n)(y,?n)?XTY.
３. V的标准正交基?1,L,?n到另一个标准正交基?1,L,?n的过渡矩阵Q为正交阵.
(?1,L,?n)?(?1,L,?n)Q?QT?Q?1，或QTQ?E
任一正交阵T可视为V的某个标准正交基到另一个标准正交基下的过渡矩阵； 已知?1,L,?n为V的标准正交基，Q为正交阵，若?1,L,?n到Q的过渡阵为
?1,L,?n，则?1,L,?n必为V的标准正交基．
４. 欧氏空间V的线性变换?（记作??L(V)），在V的两个不同标准正交基
?1,L,?n，?1,L,?n下表示矩阵分别为A,B，Q为?1,L,?n到?1,L,?n的过渡矩
阵，则B?QAQ?QAQ，即A,B正交相似．
?1T
四．正交补空间
１. 定义: W??{??V|?w?W,(?,w)?0}.
?２. 存在唯一性: W是V的子空间，则存在唯一V的子空间W，使得
V?W?W?.
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?的标准正交基：将W的标准正交基?1,L,?m扩为V的标准正交基
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?1,L,?m,?m?1,L,?n, 则?m?1,L,?n是W?的一个标准正交基．
?反之, 若?1,L,?m; ?m?1,L,?n分别是W和W的标准正交基, 则
?1,L,?m,?m?1,L,?n必是W的一个标准正交基．
４. 若?是V的正交变换, W是V的子空间, 且W是??子空间，则W也是??子
?空间，且?W?是W的正交变换．
?５. 若?是V的对称变换, W是V的子空间, 且W是??子空间，则W也是??子
?空间，且?W?是W的对称变换．
?
五．欧氏空间同构
1. 欧氏空间V，W的同构: 存在V，W的可逆线性映射?, 使得对任意x,y?V，
(?(x),?(y))?(x,y), 称V，W欧氏空间同构，?为欧氏空间的同构映射．
2. 等价命题：V，W为n维欧氏空间，??L(V,W).下列命题等价：
(1) ?保持积; (2) ?保持长度； (3) ?保持距离； (4) ?是欧氏空间同构；
(5) ?将V的任一标准正交基变为W的标准正交基； (6) ?将V的某一标准正交基变为W的标准正交基； (7) ?在V, W的任一标准正交基下的表示矩阵为正交阵; (8) ?在V, W的某一标准正交基下的表示矩阵为正交阵 ３. 欧氏空间V, W同构?dimV?dimW.（与积定义无关） ４. ＂模型＂: 任一n维欧氏空间V必同构于标准积空间?n.
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六．正交变换与正交阵
1. 定义： ??L(V),?x,y?V,若(?(x),?(y))?(x,y), 则称?为V的正交变换; Q??n?nT?1, 若QQ?E或Q?Q, 则称Q为正交阵．
T?(?1,L,?n)?(?1,L,?n)Q, 则Q为正２. 矩阵刻画: ?1,L,?n是V的标准正交基，
交阵．因此，任一正交阵Q可视为某一正交变换在V的标准正交基下的表示矩阵． 3. 等价命题：欧氏空间V,??L(V) （１） ?正交变换； （２） ?保长度； （３） ?保距离； （４） ?自同构；
（５） ?将V任一标准正交基变为V的标准正交基； （６） ?将V某一标准正交基变为V的标准正交基； （７） ?在V任一标准正交基下的表示矩阵为正交阵; （８） ?在V某一标准正交基下的表示矩阵为正交阵．
4. 标准形
变换语言:?为欧氏空间V的正交变换, 则必存在V的标准正交基, 使?在该基下的矩阵为:
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?Es????????????Et?cos?1??sin?1?sin?1??cos?1?O?cos?l??sin?l?1??????@S ???sin?l????cos?l???T矩阵语言:A为正交阵,必存在正交阵Q, 使得QAQ?QAQ?S.
5. 性质
正交阵特征值模长为1;
正交阵的乘积是正交阵; 正交阵的逆是正交阵; 正交阵的伴随是正交阵; 正交阵的列（或行）向量可以看作标准积列（或行）向量空间?n的一个标准正交
基;
正交阵的每个列向量元素平方和为1，不同列向量对应元素乘积之和为0; 该结论对
行也成立;
?是欧氏空间V的正交变换, U是??子空间, 则U也是??子空间且?|U?是
?U?的正交变换.
七. 对称变换与对称矩阵
1. 定义
变换语言: ??,??V,(?(?),?)?(?,?(?)), 称?为对称变换
?在标准正交基下的矩阵是对称阵.
T矩阵语言: A?A.
2. 等价命题: 欧氏空间V,??L(V).下列命题等价：
(1) ?是对称变换;
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8,9知识小结11
