习题2
2-1 受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。试证明齿尖上完全没有应力。
pp 图 2.1
?10?1??? 2-2 物体中某点的应力状态为（?i,j)??0?10?，求三个不变量和三个??101???主应力的大小。
2-3 有两个坐标系，试证明?x???y???z???x??y??z?不变量。 2-4 M点的主应力为?1?75N/cm2,?2?50N/cm2,?3??50N/cm2。一斜截面的法线v与三个主轴成等角，求Pv、?v及?v。
?0????????0??，求该点主应力的大小和主 2-5 已知某点的应力状态为 （?ij）???0???轴方向。
???????（?ij）??????， 2-6 已知某点的应力状态为求该主应力的大小和主轴方
???????向。
??x?xy?xz???（?i,j)???xy?y?yz?过该点斜截面法线v的 2-7 已知某点的应力状态为
????xz?yz?z?方向余弦为(l,m,n),试求斜截面上切应力?v的表达式。
?00?xz???（?i,j)??00?yz?求该点主应力的大小 2-8 物体中某点的应力状态为
????xz?yz0?和主轴方向。
2-9 已知物体中某点的应力状态为?ij，斜截面法线的方向余弦为
?111??、、?，试求斜截面上切应力的大小。 ?333? 2-10 半径为a的球，以常速度v在粘性流体中沿x轴方向运动。球面上点
x?x3v?y?z式中p0p0??，py?p0，pz?p0，
a2aaa为流体的静水压力。试求球所受的总力量。 A（x,y,z）受到的表面力为px? 2-11 已知物体中某点的应力状态为?ij，斜截面法线的方向余弦为
1?111???，试证明斜截面上的正应力及剪应力分别为、、??J1、888??3?333??8?12J12?6J2。 3
习题3
3-1 若位移u、v、w是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。设有以O为中心的曲面，在均匀变形后成为球面，
x'2?y'2?z'2?r2
问原来的曲面f(x,y,z)?0是怎样的一种曲面？ 3-2 证明
?x?k(x2?y2)，
?y?k(y2?z2)，?xy?k'xyz，
?z??yz??zx?0（其中k和k'是微小的常数），不是一个可能的应变状态。
3-3 将一个实体非均匀加热到温度T，而T是x、y、z的函数。如果假设每一单元体的热膨胀都不受约束，那么各应变分量为?x??y??z??T，
?xy??yz??zx?0，其中?是热膨胀系数，是常数。试证明，这种情况只有当T是x、y、z的线性函数时才会发生。 3-4 参照下图，
?3D0ED
CSA0OABC0B0?1?2
设A0B0?dS0，AE?dS,而AE?AB?AC?AD,试证:
dS2?dS02?2E11d?12?2E22d?22?2E33d?32?4E12d?1d?2?4E23d?2d?3?4E31d?3d?1
?2Eijd?i?j
3-5 已知欧拉应变eij的6个分量，证明小变形的线应变和剪应变为
?x?AB?A0B0?1?1?2e11， AB?xy??A0B0?A0C02e12?A0B0?A0C01?2e11?1?2e22
3-6 已知：u?0.01?2 ，??0， ??0，求：Eij . 3-7 试证：dS2?dS02?2eijdxidxj .
00???1?? 3-8 设某点的拉格朗日应变为 ?Eij???01.64?0.48?
?0?0.481.36???试求：(a) 主应变；
(b) 最大主应变对应的主轴方向； (c) 最大剪应变分量En .
3-9 刚性位移与刚体位移有什么区别？
3-10 试用应力分量写出轴对称极坐标平面应变状态条件下的协调方程。 3-11 如图3-11所示，试用正方体（a×a×a）证明不可压缩物体的泊松比
?。 2 3-12 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖
??上面承受均匀压力p的作用，如图3-12所示。假设铁盒与铁盖可以看作为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦力，试求铁盒内侧面所受到的压力以及橡皮块的体积应
变。若将橡皮块换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化？
?ax2?ax2?ay2ap
铁盖 橡皮 a ppx铁盒 ?ay2 图3-11 图3-12
3-13 设s1,s2,s3为主应力偏量，试证明用主应力偏量表示米泽斯屈服条件，其形式为
3222（s1?s2?s3）??s 2 3-14 已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，厚度为t，承受内压及轴向拉应力的作用，试求此时圆管的屈服条件，并画出屈服条件的图。
3-15 已知半径为r，厚度为t的薄壁圆筒，承受轴向拉伸和扭转的联合作用，设在加载过程中，保持?r?/?z?1，试求此圆管在按米泽斯屈服条件屈服时，轴向拉伸力P和扭矩M的表达式。
3-16 在如下两种情况下，试给出塑性应变增量的比值。 （a）单向受力状态，?1??s， （b）纯剪受力状态，?3??s3。
3-17 已知薄壁圆筒承受拉应力?z?1?s及扭矩的作用，若使用米泽斯屈服2条件，试求薄壁圆筒屈服时扭转应力应为多大？并给出此时塑性应变增量的比值。
3-18 若有两向应力状态?1?应变分量的值。
?s3，?2???s3，?3?0，d?1p?C，试求各
弹塑性理论习题讲解
