第六章?
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不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0?a＞b． (2)a－b＝0?a＝b． (3)a－b＜0?a＜b． 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b?b
1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a＞b，c＜d?a－c________b－d； (2)a＞b＞0，c＜d＜0?ac________bd； (3)a＞b＞0?
3
nnnna > b(n∈N，n≥2)．
a________b．
3
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞
2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是__________．
答案：v≤40 km/h
3．若0
b＋ca＋c与的大小关系为________． a＋cb＋cb＋ca＋c> a＋cb＋c
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b?ac>bc；若无c≠0这个条件，a>b?ac>bc就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． 1．设a，b，c∈R，且a>b，则( ) A．ac>bc C．a>b 答案：D 112．若ab>0，且a>b，则与的大小关系是________． 2 2 2 2 2 2 11 B．< ab3 D． a>b 3 ab11答案：< ab 考点一 比较两个数式的大小 基础送分型考点——自主练透 ?2x?n＝?x＋1?(x2＋x＋1)， 1．已知x∈R，m＝(x＋1)?x＋＋1?，则m，n的大小关系为( ) ?2?2???? A．m≥n C．m≤n 答案：B 2．若a＝ ln 2ln 3 ，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)． 23 B．m＞n D．m＜n b2ln 3 解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a． a3ln 2 答案：＜ 3．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________． S3S5 a3a5 解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜． 当q＞0且q≠1时， S3a3S5a5S3S5a3a5 S3S5a11－q3a11－q5－＝－4 a3a5a1q21－qa1q1－qq21－q3－1－q5－q－1＝＝＜0， q41－qq4 所以＜． 综上可知＜． 答案：＜ 比较两实数(式)大小的2种常用方法 其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论．用作差法比较大小的作差法 关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法 判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定作商法 后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研 1．设a，b∈R则“(a－b)·a<0”是“a 2 2 S3S5 a3a5 S3S5a3a5 S3S5a3a5 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2 解析：选A (a－b)·a＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a＜0”是“a＜b”的充分不必要条件． 2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A．＞ C．＞ 2 abdcabcdB．＜ D．＜ abdcabcd解析：选B 法一：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 11所以＞＞0． －d－c又a＞b＞0，所以＞，所以＜．故选B． －d－cdc法二： abab c＜d＜0?cd＞0??c＜d＜0 ??＜＜0? ??cdcdcd1 dc＜＜0? 1 bd－1－1 ?＞＞0? dca＞b＞0 ??d＞c?d＜c． ?? －a－bab法三：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 则＝－1，＝－1，排除选项C、D； 32 又∵－＜－，排除A．故选B． 23 不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件． (2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p?q和q?p是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 11 1．(2016·河南六市第一次联考)若＜＜0，则下列结论不正确的是( ) acabA．a＜b C．a＋b＜0 22 B．ab＜b D．|a|＋|b|＞|a＋b| 2 11222 解析：选D ∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b＞a，ab＜b，a＋b＜0，∴选项A、B、C均 ab正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D． 2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题： ①若ac＞bc，则a＞b； ②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d； ③若a＞b，c＞d，则ac＞bd； 11 ④若a＞b，则＞． 2 2 ab 其中正确的有( ) A．1个 C．3个 2 2 B．2个 D．4个 解析：选B ①由ac＞bc，得c≠0，则a＞b，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c＞d时，不等式不成立． 11 ④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但＜．故选B． －1－2考点三 不等式性质的应用 已知函数f(x)＝ax＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．求f(－2)的取值范围． 解：由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b． 2 重点保分型考点——师生共研 f(－2)＝4a－2b．设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b． ??m＋n＝4，则? ?m－n＝－2，? ??m＝1， 解得? ?n＝3.? ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10． 即f(－2)的取值范围为． 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．若6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是( ) 2A． C． B．(15,30) D．(9,30) aa3a3a解析：选D ∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a．∵6＜a＜10，∴9＜c＜30．故 222 选D． 2．已知－1 解析：∵－1 ∴－3<－y<－2， ∴－4 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设a，b∈ 1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( ) A．(－2,1] C．(－∞，1] 1．不等式 B．(－∞，－4] D． 2 x－3 ≤0的解集为( ) x－1 B．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x＜3} A．{x|x＜1或x≥3} C．{x|1＜x≤3} ?x－1≤0，?x－3x－3?解析：选C 由≤0，得x－1?x－1≠0，? 解得1＜x≤3． 2．若不等式mx＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________． 解析：①当m＝0时，1>0显然成立． ??m>0， ②当m≠0时，由条件知?2 ?Δ＝4m－4m<0.? 2 得0 由①②知0≤m<1． 答案： ??2x＋1，x≤0， 1．已知函数f(x)＝? ?－2x，x>0，? 2 则不等式f(x)－x≤2的解集是________． 12 解析：当x≤0时，原不等式等价于2x＋1－x≤2，∴－≤x≤0；当x>0时，原不等 2 ?1???． xx≥－式等价于－2x－x≤2，∴x>0．综上所述，原不等式的解集为 2?? ?1? ?答案：xx≥－? 2?? 2x＋1 2．不等式≥－1的解集为________． x－5 解析：将原不等式移项通分得 ??3x－4 等价于? ?x－5≠0，? 3x－4 ≥0， x－5 x－5≥0， 4 解得x＞5或x≤． 3 ???4 所以原不等式的解集为?x?x≤或x>5 3??????4 答案：?x?x≤或x>5 3??? ?? ?． ?? ?? ? ?? 3．解下列不等式： (1)(易错题)－3x－2x＋8≥0； (2)0＜x－x－2≤4． 解：(1)原不等式可化为3x＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0． 4 解得－2≤x≤， 3 ???4所以原不等式的解集为?x?－2≤x≤3???2 2 2 ???． ??(2)原不等式等价于 ??x－x－2＞0， ?2 ?x－x－2≤4??????? 2 ??x－x－2＞0，??2?x－x－6≤0?2 x－2x－3 x＋1＞0，x＋2≤0 ??x＞2或x＜－1， ???－2≤x≤3.? 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}． 解一元二次不等式的4个步骤 考点二 含参数的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研 解关于x的不等式ax－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 2 ?1?因为a＞0，所以a?x－?(x－1)＜0， a? ? 1 所以当a＞1时，解为＜x＜1； a当a＝1时，解集为?； 1 当0＜a＜1时，解为1＜x＜． a???1 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为?x?1＜x＜ a??? ?? ?． ?? 当a＝1时，不等式的解集为?． ???1 当a＞1时，不等式的解集为?x?＜x＜1 ???a ?? ?． ?? 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况． 1??122 1．已知不等式ax－bx－1≥0的解集是?－，－?，则不等式x－bx－a＜0的解集是 3??2( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) ?11?C．?，? ?32? 1??1??D．?－∞，?∪?，＋∞? 3??2?? 112 解析：选A 由题意知－，－是方程ax－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得 231?1?b1?1?122 －＋?－?＝，－×?－?＝－．解得a＝－6，b＝5，不等式x－bx－a＜0即为x－5x2?3?a2?3?a ＋6＜0，解集为(2,3)． 2．求不等式12x－ax>a(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x－ax－a>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝． 43当a>0时，不等式的解集为?－∞，－?∪?，＋∞?； 4??3??当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为?－∞，?∪?－，＋∞?． 3??4?? 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 常见的命题角度有： (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围； (2)形如f(x)≥0(x∈)确定参数范围； (3)形如f(x)≥0(参数m∈)确定x的范围． 角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 1．已知不等式mx－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：要使不等式mx－2x－m＋1＜0恒成立， 即函数f(x)＝mx－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 1 当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意； 2当m≠0时，函数f(x)＝mx－2x－m＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx－2x－m＋1＝0无解， ??m＜0，即? ?Δ＝4－4m? 22 2 22 2 2 2 2 aa? a??a? ? a??a? 1－m＜0， 不等式组的解集为空集，即m无解． 综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立． 角度二：形如f(x)≥0(x∈)确定参数范围 2．已知函数f(x)＝－x＋ax＋b－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝ 2 2 f(1＋x)成立，若当x∈时，f(x)＞0恒成立，求b的取值范围． 解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2． 2又因为f(x)开口向下， 所以当x∈时，f(x)为增函数， 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b－b＋1 ＝b－b－2， 2 2 af(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2． ∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞) 角度三：形如f(x)≥0(参数m∈)确定x的范围 3．对任意m∈，函数f(x)＝x＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 解：由f(x)＝x＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x－4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x－4x＋4． 由题意知在上，g(m)的值恒大于零， ??g∴???g2 22 2 －11 ＝＝ x－2×－1＋x2－4x＋4>0，x－2＋x2－4x＋4>0， 解得x<1或x>3． 故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈，函数f(x)的值恒大于零． 一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 方法 2解 读 (1)ax＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是适合题型 判别式法 {a>0，Δ≤0； (2)ax＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是2二次不等式在R上恒成立 (如“题点全练”第1题、第2题) {a<0，Δ≤0 分离参数法 如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求 大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min 把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋(如“演练冲关”第2题) 若在分离参数时会遇到讨论参b(a≠0)在恒成立问题，若数与变量，使求函数的最值比较主参换位法 f(x)>0??f??f?恒成 立?麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时 (如“题点全练”第3题) m>0n>0， 若?f????ff(x)<0m<0，n<0恒成立? 1．(2017·济宁模拟)不等式a＋8b≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数22λ的取值范围为________． 解：因为a＋8b≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立， 所以a＋8b－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a－λba＋(8－λ)b≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得， 2 2 2 2 22Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4． 答案： 2．设函数f(x)＝mx－mx－1(m≠0)，若对于x∈，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：要使f(x)＜－m＋5在上恒成立， 则mx－mx＋m－6＜0， 2 2 ?1?23 即m?x－?＋m－6＜0在x∈上恒成立． ?2?4 ?1?232 因为x－x＋1＝?x－?＋＞0， ?2?4 又因为m(x－x＋1)－6＜0，所以m＜因为函数y＝ 6 ＝ x－x＋1? 22 6 ． x－x＋1 2 666 在上的最小值为，所以只需m＜即可． 1?377?x－2?2＋4?? ?6?因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪?0，?． ?7? 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设集合A＝{x|x＋x－6≤0}，集合B为函数y＝A．(1,2) C． 解析：选D A＝{x|x＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}， 由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}， 所以A∩B＝{x|1 2．不等式f(x)＝ax－x－c>0的解集为{x|－2 2 22 1 x－1 的定义域，则A∩B等于( ) B． 1c解析：选B 由根与系数的关系得＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2，∴f(x) aa2 ＝－x－x＋2(经检验知满足题意)，∴f(－x)＝－x＋x＋2，其图象开口向下，顶点为 2 ?1，9?． ?24??? 3．(2017·昆明模拟)不等式x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A． 2 22 2 B．(－∞，－2]∪∪ 2 2 解析：选A x－2x＋5＝(x－1)＋4的最小值为4，所以x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，只需a－3a≤4，解得－1≤a≤4． 4．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________． 解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0 2 ?1?5．若0 ? a? ?1?解析：原不等式为(x－a)?x－?<0， ? a? 11 由0 aa???1 答案：?x?a a??? 2 ?? ? ?? 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知不等式x－2x－3＜0的解集为A，不等式x＋x－6＜0的解集为B，不等式x＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于( ) A．－3 C．－1 B．1 D．3 2 2 解析：选A 由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3． 2．不等式2<1的解集是( ) x＋1B．(1，＋∞) D．(－1,1) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1) 解析：选A ∵∴x<－1或x>1． 221－x<1，∴－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，x＋1x＋1x＋13．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k＜3，则k的取值范围是( ) A．(－1,1) C．(－1,0) B．(0,1) D．(0,2) 2 解析：选A 因为定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)， 1⊙k＜3，所以k＋1＋k＜3， 化为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1， 所以－1＜k＜1． 4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( ) A．12元 C．12元到16元之间 B．16元 D．10元到14元之间 2 22 解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y， 则y＝(x－8)， 依题意有，(x－8)＞320， 即x－28x＋192＜0， 解得12＜x＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间． 5．若不等式x－(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集，则a的取值范围是( ) A． C． B． D． 2 2 解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为，此时只要a≤3即可，即1 6．不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 解析：∵不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a－4×4>0，即a>16． ∴a>4或a<－4． 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞) 1?4?27．若关于x的不等式ax＞b的解集为?－∞，?，则关于x的不等式ax＋bx－a＞05?5?的解集为________． 1?b14?2 解析：由已知ax＞b的解集为?－∞，?，可知a＜0，且＝，将不等式ax＋bx－a5?a55? 2 2 2 2 b4144222 ＞0两边同除以a，得x＋x－＜0，即x＋x－＜0，即5x＋x－4＜0，解得－1＜x＜， a5555 4??故所求解集为?－1，?． 5?? 4??答案：?－1，? 5?? ?a 8．(2017·石家庄质检)在R上定义运算：? ?c b? ?x－1 a－2? 若不等式??＝ad－bc．?≥1 d??a＋1 x? 对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________． 解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1， 即x－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立， 2 x2－x－1＝?x－?2－≥－， 2 ?? 1?? 5454 5213 所以－≥a－a－2，解得－≤a≤． 4223 答案： 2 9．已知f(x)＝－3x＋a(6－a)x＋6． (1)解关于a的不等式f(1)>0； (2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值． 解：(1)∵f(x)＝－3x＋a(6－a)x＋6， ∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a＋6a＋3， ∴原不等式可化为a－6a－3<0， 解得3－23 ∴原不等式的解集为{a|3－23 (2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3， 2 2 2 22 a6－a－1＋3＝，??3 等价于?6－b－1×3＝－，??3 ?a＝3±3，解得??b＝－3. 2 10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f(x)＝x－2ax－1＋a，a∈R． (1)若a＝2，试求函数y＝fx(x>0)的最小值； x(2)对于任意的x∈，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围． fxx2－4x＋11 解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4． xxx1 因为x>0，所以x＋≥2． x1 当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立． x所以y≥－2． 所以当x＝1时，y＝ fx的最小值为－2． x(2)因为f(x)－a＝x－2ax－1， 所以要使得“?x∈，不等式f(x)≤a成立”， 只要“x－2ax－1≤0在恒成立”． 不妨设g(x)＝x－2ax－1， 2 2 2 则只要g(x)≤0在上恒成立即可． ??g所以? ??g02 ≤0， ≤0， ?0－0－1≤0，?即???4－4a－1≤0， 3 解得a≥． 4 ?3?则a的取值范围为?，＋∞?． ?4? 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2016·太原模拟)若关于x的不等式x－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数 2 a的取值范围是( ) A．(－∞，－2) C．(－6，＋∞) 2 B．(－2，＋∞) D．(－∞，－6) 2 解析：选A 不等式x－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x－4x－2)max，令 g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x) 2．已知函数f(x)＝ax＋2ax＋1的定义域为R． (1)求a的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为22222 ，解关于x的不等式x－x－a－a＜0． 2解：(1)∵函数f(x)＝ax＋2ax＋1的定义域为R， ∴ ax＋2ax＋1≥0恒成立， 当a＝0时，1≥0恒成立． 当a≠0时，需满足题意， 则需? ??a＞0，??Δ＝ 2 2a2 －4a≤0， 解得0＜a≤1， 综上可知，a的取值范围是． (2)f(x)＝ax＋2ax＋1＝a由题意及(1)可知0＜a≤1， ∴当x＝－1时，f(x)min＝1－a， 由题意得，1－a＝1∴a＝， 2 2， 2 2 x＋1 2 ＋1－a， 3222 ∴不等式x－x－a－a＜0可化为x－x－＜0． 413 解得－＜x＜， 22 ?13?∴不等式的解集为?－，?． ?22? 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 1．一元二次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 各个不等式所表示平面区域的公共部分 不包括边界直线 包括边界直线 Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 2．线性规划中的基本概念 名称 约束条件 意义 由变量x，y组成的不等式(组) 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 可行域 最优解 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( ) A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) 答案：C D．(2，－3) ??x－3y＋6≥0， 2．(教材习题改编)不等式组? ??x－y＋2＜0 表示的平面区域是( ) 答案：B 2x－y≤0，?? 3．(2016·北京高考)若x，y满足?x＋y≤3， ??x≥0， 则2x＋y的最大值为________． 解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到过点A时，目标函数取得最大值，由 ??2x－y＝0， ? ?x＋y＝3，? 可得A(1,2)，此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4． 答案：4 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋ c>0(a>0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． 3．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时， zbzbzbzbzz取最小值；截距取最小值时，z取最大值． b ?－x＋y≤0， 1．若用阴影表示不等示组? ?3x－y≤0 所形成的平面区域，则该平面区域中的夹 角的大小为________． 答案：15° y≤x，?? 2．(2017·兰州诊断)已知实数x，y满足?x＋y≤1， ??y≥－1， 标函数z＝2x－y的最大值为________． 则目 解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y＝2x－z，将 直线y＝2x进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z最大，最大值为5． 答案：5 考点一 二元一次不等式组 表示平面区域基础送分型考点——自主练透 x≥1，?? 1．已知约束条件?x＋y－4≤0， ??kx－y≤0 为( ) A．1 C．0 解析：选A 先作出不等式组 ?x≥1，? ???x＋y≤4， 表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值 B．－1 D．－2 对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形， 19 当k＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立． 22当k＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域． 当k＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A． x－y≥0，?? 2．(易错题)若满足条件?x＋y－2≤0， ??y≥a 的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、 纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( ) A．－3 C．－1 B．－2 D．0 解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1 时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点． x≥0，?? 3．(2017·广州五校联考)设不等式组?x＋2y≥4， ??2x＋y≤4 域D的面积为________． 所表示的平面区域为D，则区 14?44?B(0,2)， 解析：如图，画出可行域．易得A?，?，C(0,4)，∴可行域D的面积为×2× 23?33?4 ＝． 3 4 答案： 3 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界． (2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 考点二 求目标函数的最值 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透． 常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； 题点多变型考点——多角探明 (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题． 角度一：求线性目标函数的最值 2x－y＋1≥0，?? 1．(2016·全国丙卷)设x，y满足约束条件?x－2y－1≤0， ??x≤1，最小值为________． 解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题25z意可知，当直线y＝－x＋＋过点A时，z取得最小值，联立 333 ??2x－y＋1＝0， ? ?x－2y－1＝0，? 则z＝2x＋3y－5的 解得A(－1，－1)，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1) －5＝－10． 答案：－10 角度二：求非线性目标函数的最值 x－2y＋4≥0，?? 2．(2016·江苏高考)已知实数x，y满足?2x＋y－2≥0， ??3x－y－3≤0， ________． 则x＋y的取值范围是 22 解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝x＋y可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d??x－2y＋4＝0， 的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由? ??3x－y－3＝0 2 2 可 得A(2,3)， 所以dmax＝2＋3＝13，dmin＝ 2 2 |－2|2＋1 2＝225 ． 42 所以d的最小值为，最大值为13． 5 ?4?22 所以x＋y的取值范围是?，13?． ?5? 4??答案：?，13? ?5? 角度三：线性规划中的参数问题 x≥2，?? 3．(2017·郑州质检)已知x，y满足?x＋y≤4， ??2x－y－m≤0. 值为10，则z的最小值为________． 若目标函数z＝3x＋y的最大 解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值， ??3x＋y＝10， 由? ?x＋y＝4，? ??x＝3， 解得? ?y＝1，? ∴2×3－1－m＝0，m＝5． 由图知，平移l经过B点时，z最小， ∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5． 答案：5 1．求目标函数的最值3步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z＝ax＋by． 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． (2)距离型：形如z＝(x－a)＋(y－b)． (3)斜率型：形如z＝ 2 2 abzbzby－b． x－a 注意转化的等价性及几何意义． x－y＋2≥0，?? 1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足?x＋y－4≥0， ??4x－y－4≤0. 为( ) 则z＝3x－y的取值范围 ?12?A．?0，? 5???12?C．?2，? 5?? B． ?8?D．?2，? ?3? 解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值?812?3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B?，?(该点是直?55?线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z＝3x81212?12?－y取得最大值3×－＝，因此z的取值范围是?0，?，选A． 5?555?x－y＋1≥0，??2．(2017·合肥质检)已知实数x，y满足?x－3y－1≤0， ??x≤1. 为－5，则实数k的值为( ) A．－3 C．－3或－5 B．3或－5 D．±3 若z＝kx－y的最小值 解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z取得最小值时，直线y＝kx－z在y轴上的截距最大，当k≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，zmin＝k－2＝－5，k＝－3适合；当k＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，zmin＝－2k＋1＝－5，k＝3适合，故k＝±3，选项D正确． 2x＋y－2≤0，?? 3．(2016·山西质检)设实数x，y满足?x－y＋1≥0， ??x－2y－1≤0.________． 解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域， 则 y－1 的最小值是x－1 而 y－1 表示区域内一点(x，y)与点D(1,1)连线的斜率， x－1 14y－11 ∴当x＝，y＝时，有最小值为－． 33x－121 答案：－ 2 考点三 线性规划的实际应用 (2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元． 解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为 重点保分型考点——师生共研 ??x＋0.3y≤90， ?5x＋3y≤600，??x∈N，y∈N. 1.5x＋0.5y≤150， ??10x＋3y≤900， 即?5x＋3y≤600，??x∈N，y∈N. 3x＋y≤300， 目标函数为z＝2 100x＋900y， 由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分． 作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立 ??10x＋3y＝900， ? ?5x＋3y＝600，? 解得M(60,100)． 则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 1．解线性规划应用题3步骤 (1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题； (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x， y是否是整数、是否是非负数等． (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( ) A．31 200元 C．36 800元 B．36 000元 D．38 400元 解析：选C 设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件 x＋y≤21，??y－x≤7，为?36x＋60y≥900，??x，y∈N. 目标函数为z＝1 600x＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示， 可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 x≥0，?? 1．不等式组?x＋3y≥4， ??3x＋y≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) 3 A． 24C． 3 解析：选C 平面区域如图所示． ??x＋3y＝4，解???3x＋y＝4. 2 B． 33D． 4 得A(1,1)， ?4?易得B(0,4)，C?0，?， ?3? 48 |BC|＝4－＝． 33184 所以S△ABC＝××1＝． 233 2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( ) 解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0? ?x－2y＋1≥0，? ???x＋y－3≤0 或? ?x－2y＋1≤0，? ??x＋y－3≥0. 画出图形可知选C． x－y＋1≥0，?? 3．(2016·四川德阳月考)设变量x，y满足?x＋y－3≥0， ??2x－y－3≤0， 3y的最大值为( ) A．7 C．22 B．8 D．23 则目标函数z＝2x＋ x－y＋1≥0，?? 解析：选D 由约束条件?x＋y－3≥0， ??2x－y－3≤0 中阴影部分， 作出可行域如图 ??x－y＋1＝0，由? ?2x－y－3＝0? ??x＝4， 解得? ?y＝5，? 2 则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－x3 ＋． 3 2z由图可知，当直线y＝－x＋过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值， 33为2×4＋3×5＝23． 4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________． 解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由2 点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞． 3 z?2?答案：?，＋∞? ?3? x－y＋5≥0，?? 5．(2017·昆明七校调研)已知实数x，y满足?x≤4， ??x＋y≥0. 值为________． 解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－，当直线经过点(4，－ 34)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8． 答案：－8 二保高考，全练题型做到高考达标 则z＝x＋3y的最小 xx＋2y≥0，?? 1．(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件?x－y≤0， ??x－2y＋2≥0， 最小值等于( ) 5 A．－ 23C．－ 2 B．－2 D．2 则z＝2x－y的 解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小． ??x－2y＋2＝0，由? ?x＋2y＝0? 1??得点A?－1，?， 2?? zmin＝2×(－1)－＝－． x≥0，?? 2．设动点P(x，y)在区域Ω：?y≥x， ??x＋y≤4 1 252 上，过点P任作直线l，设直线l与区域 Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为( ) A．π C．3π 解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， B．2π D．4π ?4?2 则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×??＝4π． ?2? 3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂 x－2≤0，?? 足称为点P在直线l上的投影．由区域?x＋y≥0， ??x－3y＋4≥0 投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( ) A．22 C．32 B．4 D．6 中的点在直线x＋y－2＝0上的 解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形， ??x＝2，由? ?x＋y＝0? 得C(2，－2)． ??x－3y＋4＝0，由? ?x＋y＝0? 得D(－1,1)． 2＋1 2 所以|AB|＝|CD|＝＋－2－1 2 ＝32．故选C． x≥a，?? 4．(2017·湖南东部六校联考)实数x，y满足?y≥x， ??x＋y≤2 最大值是最小值的4倍，则a的值是( ) A．2 11 1B． 4D．11 2 (a＜1)，且z＝2x＋y的 1C． 2 解析：选B 如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，1所以12a＝3，即a＝． 45．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 黄瓜 韭菜 每亩年产量 4吨 6吨 每亩年种植成本 1．2万元 0．9万元 每吨售价 0．55万元 0．3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 C．20,30 B．30,20 D．0,50 解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3yx＋y≤50，?? －1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件?1.2x＋0.9y≤54， ??x≥0，y≥0. 画出可行域如图，得最优解为A(30,20)． x－y＋3≥0，?? 6．若不等式组?x＋y≥a， ??x≤2. ________． 表示的区域为一个三角形，则实数a的取值范围为 ??x－y＋3≥0， 解析：不等式组? ?x≤2? 表示的区域如图所示． 易求得A(2,5)． 画出直线l：x＋y＝a． 由题意及图可得a＜7． 答案：(－∞，7) y≥1，?? 7．(2017·河南六市联考)已知实数x，y满足?y≤2x－1， ??x＋y≤m. 的最小值为－1，则实数m＝________． 如果目标函数z＝x－y解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可 ??y＝2x－1， 知，当直线l经过A时符合题意，由? ?x－y＝－1，? ??x＝2， 解得? ?y＝3.? 又A(2,3)在直线x＋y＝m上，∴m＝5． 答案：5 8．(2017·西安质检)若变量x，y________． ??|x|＋|y|≤1， 满足? ?xy≥0，? 则2x＋y的取值范围为 解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为． 答案： 9．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D的不等式组． (2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围． 解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0．原7x－5y－23≤0，?? 点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为?x＋7y－11≤0， ??4x＋y＋10≥0. (2)根据题意有 ＜0， 即(14－a)(－18－a)＜0， 解得－18＜a＜14． 故a的取值范围是(－18,14)． x＋y≥1，?? 10．若x，y满足约束条件?x－y≥－1， ??2x－y≤2. 11 (1)求目标函数z＝x－y＋的最值； 22 (2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 11 平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2， 22过C(1,0)取最大值1． 所以z的最大值为1， 最小值为－2． (2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a2＜2． 故所求a的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ax≥0，??y≥0， 1．(2016·通化一模)设x，y满足约束条件? xy??3a＋4a≤1， 3小值为，则a的值为________． 2解析：∵而 若z＝ x＋2y＋3 的最x＋1 x＋2y＋32y＋1＝1＋， x＋1x＋1y＋1表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率， x＋1y＋11 的最小值是， x＋14 易知a>0，作出可行域如图所示，由题意知即? ?y＋1?＝0－－1＝1＝1?a＝1． ?min3a－－1 3a＋14?x＋1? 答案：1 2．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料 肥料 A 甲 乙 4 5 B 8 5 C 3 10 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． ??8x＋5y≤360，解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为?3x＋10y≤300， x≥0，??y≥0. (2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y． 4x＋5y≤200， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． 2z2考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平333行直线，为直线在 3z zy轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知， 3 当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大． 3 ??4x＋5y＝200， 解方程组? ?3x＋10y＝300，? z 得点M的坐标为(20,24)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112． 答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． 第四节基本不等式 1．基本不等式ab≤ a＋b2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b． 2．几个重要的不等式 (1)a＋b≥ 2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)； 2 2 baab?a＋b?2(a，b∈R)；(4)?a＋b?2≤a＋b(a，b∈R)． (3)ab≤???2?2?2??? 3．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为22 a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 4 1．(教材习题改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________． 答案：81 2．若实数x，y满足xy＝1，则x＋2y的最小值为________． 解析：x＋2y＝x＋(2y)≥2x(2y)＝22， 所以x＋2y的最小值为22． 答案：22 1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2 22 2 2 2 2 2 q2 2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． 3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a≥0，b≥0时， 2 2 a＋b2 ≥ab( ) (2)两个不等式a＋b≥2ab与 a＋b2 ≥ab成立的条件是相同的( ) (3)x＞0且y>0是＋≥2的充要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．若f(x)＝x＋5A． 27C． 2答案：B 13．函数f(x)＝x＋的值域为____________________． 1 (x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于( ) x－2 B．3 D．4 xyyxx答案：(－∞，－2]∪ 11 1．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知x，y∈R＋，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的 xy最大值是( ) A．3 C．4 11 解析：选C 由x＋y＋＋＝5， 7B． 29D． 2 xy得5＝x＋y＋ x＋y， xy∵x＞0，y＞0， ∴5≥x＋y＋ x＋y4 ＝x＋y＋， x＋yx＋y??2 ?2??? ∴(x＋y)－5(x＋y)＋4≤0， 解得1≤x＋y≤4， ∴x＋y的最大值是4． 2．(2017·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋________． 解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0， ∴f(x)＝x＋ 99＝x＋4＋－4≥2 x＋4x＋4 9 的最小值为x＋4 2 x＋4·－4＝2， x＋4 9 当且仅当x＋4＝答案：2 9 ，即x＝－1时取等号． x＋4 11 3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． ab解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋bba∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 abababba11·＝4，即＋的最小值为4，当且仅当aabab1＝b＝时等号成立． 2答案：4 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． 3 1．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________． 2解析：y＝4x(3－2x)＝2 ?2x＋≤2?? 3－2x2 ?2＝9， ?2? 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． 43?3?又∵∈?0，?， 4?2? 3?9?∴函数y＝4x(3－2x)?0＜x＜?的最大值为． 2?2?9 答案： 2 2．(2017·郑州质检)已知正数x，y满足x＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． 3－x解析：由题意得y＝， 2x22 3－x3x＋33?1? ∴2x＋y＝2x＋＝＝?x＋?≥3， 2x2x2?x? 2 2 当且仅当x＝y＝1时， 等号成立． 答案：3 11 3．若3中条件和结论互换，即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________． ab1111 解析：由＋＝4，得＋＝1． ab4a4b1ba1?11?∴a＋b＝?＋?(a＋b)＝＋＋≥＋2 24a4b2?4a4b?号． 答案：1 考点二 基本不等式的实际应用 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)12 与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x－200x＋80 000，且每处理一吨二 2氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 重点保分型考点——师生共研 ba1·＝1．当且仅当a＝b＝时取等4a4b2y180 000 解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2 x2x180 000 x·－200＝200， 2x 180 000 当且仅当x＝，即x＝400时等号成立， 2x故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S元， ?12?则S＝100x－y＝100x－?x－200x＋80 000? ?2? 1212 ＝－x＋300x－80 000＝－(x－300)－35 000， 22因为x∈，所以S∈． 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损． 解实际应用题的3个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 某化工企业2017年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)． (1)用x表示y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． 100＋0.5x＋解：(1)由题意得，y＝即y＝x＋ 100 ＋1．5(x∈N)． * 2＋4＋6＋…＋2xx， x(2)由基本不等式得： y＝x＋ 100 ＋1．5≥2 xx· 100 x＋1．5＝21．5， 100 当且仅当x＝，即x＝10时取等号． x故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 考点三 利用基本不等式求参数的取值范围重点保分型考点——师生共研 1．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 解析：(1)∵x＞0，a＞0， ∴f(x)＝4x＋≥2 当且仅当4x＝， 即4x＝a时，f(x)取得最小值． 又∵f(x)在x＝3时取得最小值， ∴a＝4×3＝36． 答案：36 2 2 axax4x·＝4a， axaxx2＋ax＋11* 2．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N，f(x)≥3恒成立，则ax＋1 的取值范围是________． x2＋ax＋11?8?解析：对任意x∈N，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－?x＋?＋3．设g(x)x＋1?x?*8817*＝x＋，x∈N，则g(x)＝x＋≥42，当x＝22时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝．∵xx3g(2)＞g(3)，∴g(x)min＝．∴－?x＋?＋3≤－， 33?x?8?8?∴a≥－，故a的取值范围是?－，＋∞?． 3?3?17?8?8?8?答案：?－，＋∞? ?3? 求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． ?1a?1．已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ?xy? ( ) A．2 C．6 B．4 D．8 yax?1a?2 解析：选B (x＋y)?＋?＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(x，y，a＞0)，当 ?xy? xy?1a?22 且仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)·?＋?的最小值为(a＋1)，于是(a＋1)≥9恒 ?xy? 成立．所以a≥4，故选B． 2．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即时取等号)，即为2． 答案：2 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“a＞b＞0”是“ab＜x＋22xy≤2(当且仅当x＝2yx＋yx＋22xyx＋22xy的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值 x＋yx＋ya2＋b22”的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．充分不必要条件 C．充要条件 22解析：选A 由a＞b＞0得，a＋b＞2ab；但由a＋b＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜ 22 a2＋b22 ”的充分不必要条件，故选A． 2x的最大值为( ) x＋1 2 2．当x＞0时，f(x)＝1A． 2C．2 B．1 D．4 2x22 ＝≤＝1， x＋112 x＋ 2 解析：选B ∵x＞0，∴f(x)＝ x1 当且仅当x＝，即x＝1时取等号． x?b??4a?3．(2017·合肥调研)若a，b都是正数，则?1＋??1＋?的最小值为( ) ? a?? b? A．7 C．9 B．8 D．10 解析：选C 因为a，b都是正数，所以?1＋??1＋当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确． 4．当3＜x＜12时，函数y＝解析：y＝＝－?x＋ ? ? b??a?? 4a?b4a?＝5＋＋≥5＋2 b? abb4a·＝9，abx－3 x＝ 2 12－x的最大值为________． x－3 x12－x－x＋15x－36 x?? 36? ＋15≤－2 x?? x·＋15＝3． x36 36 当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3． x答案：3 5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m． 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m， 由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤?＝5时等号成立， 故当矩形的长与宽相等，都为5 m时面积取到最大值25 m． 答案：25 二保高考，全练题型做到高考达标 1．下列不等式一定成立的是( ) 2 2 ?x＋10－x?2＝25，当且仅当x＝10－x，即x?2?? ?21?A．lg?x＋?＞lg x(x＞0) 4?? 1 B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R) D． 1 ＞1(x∈R) x＋1 22 11?21?22 解析：选C lg?x＋?＞lg x?x＋＞x(x＞0)?4x－4x＋1＞0(x＞0)．当x＝时，4?42?111 4×2－4×＋1＝0，∴A错；当sin x＝－1时，sin x＋＝－2＜2，∴B错；x2＋1≥2|x|22sin x?(|x|－1)≥0，∴C正确；当x＝0时， 2 1 ＝1，∴D错． x＋1 211 2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是 ab( ) A．3 B．4 C．5 D．6 11 解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4abab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号． 3．若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是( ) A． C． 解析：选D ∵2＋2≥22·2＝22∴2 x＋yxyxyx＋yxyB． (当且仅当2＝2时等号成立)，∴2 xyx＋y1 ≤，2 1 ≤，得x＋y≤－2． 4 2 2 4．(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x＋y－2x－4y＝0截得的弦长为25，则ab的最大值是( ) A．9 C．4 9B． 25D． 222解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)＋(y－2)＝5，圆心坐标为(1,2)，9半径r＝5，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2a·2b，可得ab≤，当且仅当2a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B． 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费 8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件 C．100件 B．80件 D．120件 92x800 解析：选B 每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓xx800x储费用是元，则＋≥2 8x8 ∴每批生产产品80件． 800 x800x·＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，x8x8 6．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝2图象上两个不同的点，若x1＋2x2＝4，则y1 ＋y2的最小值为________． 解析：y1＋y2＝2x1＋22x2≥22x1＋2x2＝8(当且仅当x1＝2x2＝2时等号成立)． 答案：8 2 2 x 7．(2016·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________． 解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log2? ?x＋2y?2－1＝2－1＝1， ??2? 当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立， 所以log2x＋log2y的最大值为1． 答案：1 8．已知实数x，y满足x＋y－xy＝1，则x＋y的最大值为________． 解析：因为x＋y－xy＝1， 所以x＋y＝1＋xy． 所以(x＋y)＝1＋3xy≤1＋3×? 2 2 2 2 2 2 2 2 ?x＋y?2， ??2? 即(x＋y)≤4，解得－2≤x＋y≤2． 当且仅当x＝y＝1时右边等号成立． 所以x＋y的最大值为2． 答案：2 389．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值； 22x－3(2)设0 183解：(1)y＝(2x－3)＋＋ 22x－32?3－2x＋8?＋3． ＝－?3－2x??2?2 3 当x<时，有3－2x>0， 2∴ 3－2x8 ＋≥2 23－2x3－2x8 ·＝4， 23－2x3－2x81 当且仅当＝，即x＝－时取等号． 23－2x2355 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－． 222(2)∵0 x＋2－x2 ＝2， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2． 10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 82 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， xy又x＞0，y＞0， 82 则1＝＋≥2 xyxy828·＝，得xy≥64， xy当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． 82 (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， xy2x8y?82?则x＋y＝?＋?(x＋y)＝10＋＋ ?xy? 2xyx≥10＋2 y8y·＝18． x当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， ∴x＋y的最小值为18． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 192 1．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x＋4x＋18－m对任意实数x恒成立， ab则实数m的取值范围是( ) A． C．(－∞，6] D．，则g(x)的三个零点分别为x1＝－3，x2＝－2， x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，则c－m＝6，因此c＝m＋6∈ (6,9]． e，x<1，?? 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝?1 x，x≥1，??3范围是________． 解析：当x<1时，由e x－1 x－1 则使得f(x)≤2成立的x的取值 1 ≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8， 3 ∴1≤x≤8．综上，符合题意的x的取值范围是(－∞，8]． 答案：(－∞，8] 4．(2014·江苏高考)已知函数f(x)＝x＋mx－1，若对于任意x∈，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 2 ??f解析：由题可得f(x)<0对于x∈恒成立，即? ?f? m＝2m2－1<0，m＋1＝2m2＋3m<0， 解得－ 2 答案：?－ ??2?，0? 2? 命题点二 简单的线性规划问题 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1．(2016·北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( ) A．－1 C．7 B．3 D．8 解析：选C 法一：作出线段AB，如图所示． 作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2x－y取最大值为2×4－1＝7． 5－1法二：依题意得kAB＝＝－2， 2－4∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈， 即y＝－2x＋9，x∈， 故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈． 设h(x)＝4x－9， 易知h(x)＝4x－9在上单调递增， 故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7． x＋y－2≤0，?? 2．(2015·重庆高考)若不等式组?x＋2y－2≥0， ??x－y＋2m≥0 4 其面积等于，则m的值为( ) 3 A．－3 4C． 3 B．1 D．3 表示的平面区域为三角形，且 解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示， 易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C2－4m2＋2m，，D(－2m,0)． 33 S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC| 2＋2m?1?＝(2＋2m)?1＋m－ 3?2??＝(1＋m)?1＋ 12 ?? m－2?4 ＝， 3??3 解得m＝1或m＝－3(舍去)． ??x＋y≥1， 3．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组? ??x－2y≤4 的解集记为D，有下面四个命题： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2； p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1． 其中真命题是( ) A．p2，p3 C．p1，p2 B．p1，p4 D．p1，p3 解析：选C 法一：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C． 法二：设x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－2y)， ??1＝m＋n，则???2＝m－2n， 4 m＝，??3解得?1 n＝－??3， ∵? ??x＋y≥1， ??x－2y≤4， 4414 ∴(x＋y)≥，－(x－2y)≥－， 333341 ∴x＋2y＝(x＋y)－(x－2y)≥0． 33故命题p1，p2正确，p3，p4错误．故选C． x＋y≥0，?? 4．(2015·福建高考)变量x，y满足约束条件?x－2y＋2≥0， ??mx－y≤0. 大值为2，则实数m等于( ) A．－2 C．1 B．－1 D．2 若z＝2x－y的最 解析：选C 作出约束条件表示的可行域，如图所示， ??x＋y≥0， 目标函数z＝2x－y取最大值2，即y＝2x－2时，画出? ?x－2y＋2≥0? 表示的区域， 由于mx－y≤0过定点(0,0)，要使z＝2x－y取最大值2，则目标函数必过两直线x－2y＋2＝0与y＝2x－2的交点A(2,2)，因此直线mx－y＝0过点A(2,2)，故有2m－2＝0，解得m＝1． x－y＋1≥0，?? 5．(2016·全国甲卷)若x，y满足约束条件?x＋y－3≥0， ??x－3≤0， 为________． 解析：不等式组 则z＝x－2y的最小值 x－y＋1≥0，?? ?x＋y－3≥0，??x－3≤0 表示的可行域如图阴影部分所示． 11由z＝x－2y得y＝x－z． 22 1 平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5． 2答案：－5 x＋4y≥4，?? 6．(2013·广东高考)给定区域D：?x＋y≤4， ??x≥0. 令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈ Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线． 解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域 D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线． 答案：6 x＋2y－4≤0，?? 7．(2014·浙江高考)当实数x，y满足?x－y－1≤0， ??x≥1 则实数a的取值范围是________． 时，1≤ax＋y≤4恒成立， ?3?解析：由线性规划的可行域(如图)，求出三个交点坐标分别为A(1,0)，B(2，1)，C?1，?， ?2? 3 都代入1≤ax＋y≤4，可得1≤a≤． 2 ?3?答案：?1，? ?2? 命题点三 基本不等式 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 121．(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( ) abA．2 C．22 B．2 D．4 12 解析：选C 由＋＝ab，知a＞0，b＞0， ab12 所以ab＝＋≥2 2 abab，即ab≥22， 12??a＝b， 当且仅当?12 ??a＋b＝ ab， 44即a＝2，b＝22时取“＝”， 所以ab的最小值为22． 2．(2014·福建高考)要制作一个容积为 4 m，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( ) A．80元 C．160元 B．120元 D．240元 3 解析：选C 设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长43 方体的容积为4 m，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋ x10 ?2x＋2×4??x???? x＝80＋20 ?x＋4? ?x??? ≥80＋20×2 x· 4 x＝ 4??160?当且仅当x＝，即x＝2时取等号?．所以该容器的最低总造价为160元． ? 3．(2014·重庆高考)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋23 C．6＋43 B．7＋23 D．7＋43 解析：选D 因为log4(3a＋4b)＝log2ab， 所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab， ??3a＋4b>0，且? ?ab>0，? 即a>0，b>0， 43 所以＋＝1(a>0，b>0)， ab4b3a?43?a＋b＝(a＋b)·?＋?＝7＋＋≥7＋2ab?ab?等号，故选D． 4b3a4b3a·＝7＋43，当且仅当＝时取aba4 x2－y2 4．(2015·山东高考)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时， xyx?y＋(2y)?x的最小值为________． 22 x2－y24y－xx2－y2 解析：因为x?y＝，所以(2y)?x＝．又x>0，y>0，故x?y＋(2y)?x＝ xy2xyxy4y－xx＋2y22xy＋＝≥＝2，当且仅当x＝2y时，等号成立． 2xy2xy2xy答案：2 2222 第五节合情推理与演绎推理 1．合情推理 类型 定义 根据一类事物的部分对象具有某种特征，推归纳推理 出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对类比推理 象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 2．演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 由特殊到特殊 由部分到整体、由个别到一般 特点
高考数学（文）大一轮复习习题 第六章 不等式、推理与证明
