北京力迈外国语学校数学整式的乘法与因式分解达标检测(Word版含解析)

由天下分享时间：2025/1/9 14:25:13 加入收藏我要投稿点赞

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难） 1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．【答案】(1)1；(2)3．【解析】【分析】

（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．【详解】

解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0， ∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0， ∴(x+y)2+(y+1)2=0， ∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=?1， ∴2x+y=2×1+(?1)=1； (2)∵a?b=4， ∴a=b+4，

∴将a=b+4代入ab+c2?6c+13=0，得 b2+4b+c2?6c+13=0， ∴(b2+4b+4)+(c2?6c+9)=0， ∴(b+2)2+(c?3)2=0， ∴b+2=0，c?3=0，解得，b=?2，c=3， ∴a=b+4=?2+4=2， ∴a+b+c=2?2+3=3．【点睛】

此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.

2．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

22（1）观察图2请你写出(a?b)、(a?b)、ab之间的等量关系是______；

（2）根据（1）中的结论，若x?y?5，x?y?9，则x?y?______； 422（3）拓展应用：若(2019?m)?(m?2020)?7，求(2019?m)(m?2020)的值. 22【答案】（1）(a?b)?(a?b)?4ab；（2）4，－4：（3）-3

【解析】【分析】

（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.

（2）由（1）的结论可得(x-y) 2=16,然后利用平方根的定义求解即可. （3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解. 【详解】

2解：（1）由题可得，大正方形的面积?(a?b)，

大正方形的面积?(a?b)?4ab， ∴(a?b)?(a?b)?4ab，

22（2）∵(x?y)?(x?y)?4xy，

222∴(x?y)?(x?y)?4xy?25?4?∴x?y?4或－4，

229?16， 422（3）∵(2019?m)?(m?2020)?7，

又(2019?m?m?2020)?(2019?m)?(m?2020)?2(2019?m)(m?2020) ∴1?7?2(2019?m)(m?2020) ∴(2019?m)(m?2020)??3

22故答案为：(1)(a?b)?(a?b)?4ab；(2) 4，－4：(3)-3

222【点睛】

本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.

3．先阅读下列材料，然后解后面的问题．

材料：一个三位自然数abc （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．

【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】

（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；

（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可. 【详解】

（1）证明：∵abc为欢喜数， ∴a+c=b．

∵abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除， ∴11b能被99整除，99a能被99整除， ∴“欢喜数abc”能被99整除；

（2）设m=a1bc1，n=a2bc2（且a1＞a2），

∵F（m）﹣F（n）=a1?c1﹣a2?c2=a1?（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数， ∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．

∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2）， ∴m﹣n=99或m﹣n=297．

∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．【点睛】

做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.

4．若一个正整数x能表示成a2?b2(a,b是正整数，且a?b)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解. 例如：因为5?32?22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M?x2?2xy?x2?2xy?y2?y2?(x?y)2?y2(x,y是正整数)，所以M也是“明礼崇德数”，(x?y)与y是M的一个平方差分解. (1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；

(2)已知N?x2?y2?4x?6y?k(x,y是正整数，k是常数，且x?y?1)，要使N是“明

礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；

(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m的所有平方差分解. 【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，279?482?452，279?202?112. 【解析】【分析】

(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；

(2)根据题意分析N应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N平方差分解，得到答案；

(3)确定“七喜数”m的值，分别将其平方差分解即可. 【详解】 (1)∵9=52-42， ∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；

(2)当k=-5时，N是“明礼崇德数”， ∵当k=-5时，

N?x2?y2?4x?6y?5，

=x2?y2?4x?6y?4?9， =(x2?4x?4)?(y2?6y?9)， =(x?2)2?(y?3)2， =(x?2?y?3)(x?2?y?3) =(x?y?5)(x?y?1). ∵x,y是正整数，且x?y?1， ∴N是正整数，符合题意， ∴当k=-5时，N是“明礼崇德数”； (3)由题意得：“七喜数”m=178或279，设m=a2?b2=（a+b）（a-b），当m=178时， ∵178=2?89， ∴??a?b?89?b?2，得?a?45.5（不合题意，舍去）；?a??b?43.5

当m=279时， ∵279=3?93=9?31，

∴①??a?b?93，得?a?48?a?b?3?，∴?b?45279?482?452，

②??a?b?31，得??a?b?9?a?20，∴?b?11279?202?112，

∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m是279，279?482?452，279?202?112. 【点睛】

此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.

5．阅读下列解题过程，再解答后面的题目. 例题：已知x?y?4y?2x?5?0，求x?y的值.

22解：由已知得(x?2x?1)?(y?4y?4)?0 即(x?1)?(y?2)?0 ∵(x?1)?0，(y?2)2≥0 ∴有?22222?x?1?0?x?1，解得?

y?2?0y??2??22∴x?y??1.

题目：已知x?4y?6x?4y?10?0，求xy的值. 【答案】-【解析】【分析】

先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求出xy的值．【详解】

解：将x?4y?6x?4y?10?0，化简得x?6x?9?4y?4y?1?0，即?x?3???2y?1??0．

∵?x?3??0，?2y?1??0，且它们的和为0， ∴x?3 ，y1 ， 22222223 2223?1?xy?3????. ∴??2?2?【点睛】