高中数学组《立体几何》高考研讨会 2015.12.2
一、全国新课标高考理科数学考试大纲 1、空间几何体
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
（6）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究
几何问题中的应用. 二、考试内容层次要求
所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。 ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 （2）点、直线、平面之间的位置关系
①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。 ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理：
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。 ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。 理解以下性质定理，并能够证明：
◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。 ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 2、空间向量与立体几何
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （4）解直线的方向向量与平面的法向量.
1
三、2010年—2015年全国课标卷1立体几何考点分布统计表 五、考试特点
立体几何的重点是考查空间想象能力，和推理论证能力，而三视图是考查空间想象能力的很好载体，课标卷加强三视图的考查且达到一定的深度，一是表明重视新增内容，二是体现能力立意.
立体几何解答题，文科突出考查直观感知和简单的推理论证，比如证明线面平行或垂直，计算几何体的表面积或体积等，不涉及线面角和二面角；理科更注重对空间想象能力和推理论证能力的考查，平行和垂直关系以及计算线面角或二面角都是重要内容，同时，题目的设计兼顾“几何法”和“向量法”；
2011年——2015年全国课标卷Ⅰ立体几何考点分布统计表（理科）
年份 选择题 填空题 第15题球内接四棱锥体积 解答题 第18题线线垂直、二面角 第19题线线垂直、二面角 第18题线线垂直、线面角 第19题线段相等（线面垂直）、二面角 第18题面面垂直、线线角 2011年 第6题三视图（侧视图） 2012年 2013年 第7题三视图（三棱锥体积） 第11题球内接三棱锥体积 第6题球的截面性质、球的体积 第8题三视图（几何体体积） 在题干上基本采用文、理“姊妹题”或“同题不同序”的形式，文科重简单推理和适当计算，理科重推理论证或计算证明.
全国卷与广东卷在考点分布的主要差异（一）内容：
1．全国卷对旋转体特别是球的问题经常考（一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算；二
第12题三视图（三视图还原、三2014年 棱锥棱长） 第6题圆锥体积 2015年 第11题三视图（圆柱和球的表面积） 是考查球与多面体的相切接，考查了学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力），而广东卷则较少涉及，广东试卷2012年文科只出现了一次半球的三视图．
2．在选填题中，全国卷近五年对空间位置关系都未涉及，广东卷2014年和2015年都出现了命题判
2011年——2015年全国课标卷Ⅰ立体几何考点分布统计表（文科）
年份 2011年 选择题 第8题三视图 （同理） 填空题 第16题球内接圆锥体积 解答题 第18题线线垂直、三棱锥的高(题干同理) 第19题面面垂直、三棱锥体积（题干与理相似） 断式的客观题，此类题目是过去立体几何高考题的常见形式，通常得分率也比较高，说明新课标卷I更侧重于实际图形应用中的考察。
3．在解答题中，全国卷近五年对线面平行问题都未涉及，广东卷也少有考查线面平行问题，但全国课标卷Ⅱ常考查平行问题，2013年、2014年均有考查线面平行．
4．全国卷考查三视图的试题难度较大，空间想象能力要求比较高，广东卷比较基础． 5．全国卷有出现“直棱柱、正棱柱、正棱锥”等概念，而广东卷从未涉及这些概念．
6.全国卷文理科背景材料经常是相近的，甚至是同题（2011年——2014年），广东卷文理科试题背景材料也相近的，但少同题．
全国卷与广东卷在考点分布的主要差异（二）结构与难度：
1、结构：全国卷经常是1道选择题、1道填空题、1道解答题，共3道题；广东卷经常是1道选择
第7题三视图 2012年 （三棱锥体积）（同理） 第8题球的体积 2013年 第11题三视图 第15题球的截面第19题线线垂直、三棱锥体积（题干及1同（几何体体积）（同理） 性质、球的表面积 理） 第19题线线垂直、三棱柱高（点面距离）（题干与理相似） 第18题面面垂直、三棱锥体积及侧面积 第8题三视图 2014年 （三视图还原） 第6题圆锥体积（同理） 2015年 第11题三视图（圆柱和 球的表面积）（同理） 题或填空题、1道解答题，共2道题．
2、分数比例：全国卷对立体几何考查的分值为22分，占全卷分值约15%，广东卷的分值为19分，占全卷分值约13%．
3、难度定位：全国卷对立体几何的考查难度相对稳定，选择题、填空题难度为中等偏难，选择题基本在后六题的位置，填空题基本在后二题的位置（时而作为选择题压轴题，如2014年理12、2011年文16、2012年及2014年理11、2013年及2015年文11）；解答题属于中等难度，且基本定位在第2、3题的位置．
4、广东卷对立体几何的考查，选择题、填空题为基础题，选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置；解答题广东卷波动较大．从整体上，对于选择题、填空题的考查，全国卷难于广东卷；解答题方面，广东有时难于全国卷（但都处在解答题第三道）．
2
四、立体几何考纲研究
比较显示，《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版理科）》、《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（课程标准实验版理科）》、《2015年普通高等学校招生全国统一考试广东省考试说明（理科）》要求基本保持一致，存在的主要差异是： 1．《全国考试说明》未涉及的内容主要有：“会画某些建筑物的视图与直观图”． 2．《广东考试说明》不要求记忆“球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式”，而《全国考试说明》及《全国考试大纲》无此限定．
六、复习建议
1、加强文字语言、符号语言和图形语言的转化训练，认识基本图形，对图形进行分解组合，提高图形的解读能力.
2、熟练掌握直线与平面平行和垂直有关性质定理和判定定理，每个逻辑段的条件和结论要清楚，表达严谨，避免跳步和习惯性地漏掉一些得分点和关键点.
3、理科要重视建系训练，掌握“向量坐标法”解决立体几何问题的一般套路：建系——找量——计算——“翻译”.恰当建立空间直角坐标系、准确表示出相关点的坐标及相应向量的坐标，用解方程的方法求出平面的法向量．
七、近五年全国卷高考真题
所以BD
?平面PAD. 故 PA?BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。
????uuuvuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)
?????n?AB?0?设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则????, ???n?PB?0 即 （2011年新课标理科第6题）
在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
?x?3y?03y?z?0 因此可取n=(3,1,3)
?????m?PB?0?设平面PBC的法向量为m，则 ???? 可取m=（0，-1，?3） ???m?BC?0
解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D
cosm,n?27?427 故二面角A-PB-C的余弦值为 ? ??7727（2011年新课标理科第15题）
已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB?6,BC?23,则棱锥O?ABCD的体积为 。
解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=22OM=4?(23)?2，VO?ABCD?（2012年新课标理科第7题）
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） （A）6 （B）9 （C）12 （D）18
【解析】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3
1(23)2?62?23, 21?6?23?2?83. 3（2011年新课标理科第18题）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
解析1：（Ⅰ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD
从而BD2+AD2= AB2，故BD
11??6?3?3?9 32（2012年新课标理科第11题）
已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC?2，则此棱锥的体积为（ ）
此几何体的体积为V?（A）2322 （B） （C） （D） 6632【解析】选A
?ABC的外接圆的半径r?3
?AD;又PD ?底面ABCD，可得BD ?PD
6322，点O到面ABC的距离d?R?r?
33
SC为球O的直径?点S到面ABC的距离为2d?263 此棱锥的体积为V?13S?2d?13262?ABC3?4?3?6 另：V?133S?ABC?2R?6排除B,C,D
（2012年新课标理科第19题）
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?12AA1， C1B1D是棱AA1的中点，DC1?BD。
A1（Ⅰ）证明：DC1?BC
（Ⅱ）求二面角AD1?BD?C1的大小。
C【解析】（1）在Rt?DAC中，AD?AC 得：?ADC?45?
BA 同理：?A??1DC1?45??CDC1?90
得：DC1?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC （2）DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC
取A1B1的中点O，过点O作OH?BD于点H，连接C1O,C1H A1C1?B1C1?C1O?A1，面BA1B1C1?面A1BD?C1O?面A1BD OH?BD?1CH?B 得：点
DH与点D重合 且?C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角
设AC?a，则C2a?1O?2，C1D?2a?2C1O??C1DO?30
既二面角A?1?BD?C1的大小为30
（2013年新课标I理科第6题）
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，
当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A、500πcm3B、866π33
3cm C、1372πcm3
D、2048π3
3
3
cm
【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.
【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则
R2?(R?2)2?42，解得R=5，∴球的体积为4??533=500π3cm3，故选A. （2013年新课标I理科第8题）
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.16?8? B.8?8?
C.16?16? D.8?16?
【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体 体积公式，是中档题.
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4， 上边放一个长为4宽为2高为2长方体，
故其体积为1??222?4?4?2?2 =16?8?，故选A.
（2013年新课标I理科第18题）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中， CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，
求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.
【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E， ∵AB=AA01，?BAA1=60，∴?BAA1是正三角形， ∴A1E⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵CE?A1E=E，∴AB⊥面CEA1， ∴AB⊥AC1； ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，EA1⊥AB，
又∵面ABC⊥面ABB1A1，面ABC∩面ABB1A1=AB，∴EC⊥面ABB1A1，∴EC⊥EA1，
4
????????∴EA，EC，EA1两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立
如图所示空间直角坐标系O?xyz，
（2014年新课标I理科第19题）
如图三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，
????????????有题设知A(1,0,0),A3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，3）,BB1=AA1=(－1(0,
AB?B1C.
1,0,3),????AC1=(0,－3,3), ……9分
设n=(x,y,z)是平面CBBC11的法向量，
????则???n?BC?0??x?3z?0?????，即，可取y?0n=（3，1，-1）， ?n?BB?1?0??x?3∴cosn,????ACn?????A1=|n||????1C10A， 1C|5∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为105. ……12分
（2014年新课标I理科第12题）
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A.62 B.42 C.6 D.4
【答案】：C
【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D?ABC， 其中AB?BC?4,AC?42,DB?DC?25，
DA??42?2?4?6，故最长的棱的长度为DA?6，选C
(Ⅰ) 证明：AC?AB1；
（Ⅱ）若AC?ABo1，?CBB1?60，AB=BC，求二面角A?A1B1?C1的余弦值.
【解析】：(Ⅰ)连结BC1，交B1C于O，连结AO．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C?BC1?，且O为B1C与BC1的中点．又AB?B1C，所以B1C?平面ABO，故B1C?AO?又 B1O?CO，故
AC?AB1 ………6分
（Ⅱ）因为AC?AB1且O为B1C的中点，所以AO=CO? 又因为AB=BC?，所以?BOA??BOC
故OA⊥OB?，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz． 因为?CBB1?600，所以?CBB1为等边三角形．又AB=BC?，则
A???0,0,3??3??，B??1,0,0?，B?3??3?1??0,,0?3??，C???0,?,0?3?? ?????AB???33???????????3???????????3?1?0,3,?3??，A1B1?AB???1,0,?3??,B1C1?BC????1,?3,0??
????????????3y?3设?n??x,y,z?是平面的法向量，则???n??????AB1?0?，即?33z?0??n?A0? 所以可取n??1,3,3? ??1B1????x?33z?0设?m?是平面的法向量，则??????????m???????A1B?1?0，同理可取??0m???1,?3,3? ?n?B1C1则cos?n,?m????n??m?1n??m??7，所以二面角A?A1B1?C11的余弦值为7.
5
（2015年新课标I理科第6题）
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
解：（1）连结BD，设BD?AC=G，连结EG，FG，EF. 在菱形ABCD中不妨设GB=1.由?ABC=120°，
可得AG=GC=3.由 BE?平面ABCD, AB=BC可知AE=EC. 又AE?EC，所以EG=3，且EG?AC.在Rt?EBG中，
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 【解析】
设圆锥底面半径为r，则14?2?3r?8=r?163，所以米堆的体积为14?13?3?(163)2?5=3209，故堆放的米约为
3209÷1.62≈22，故选B. （2015年新课标I理科第11题）
2r 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。 若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ） r （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 正视图 【答案】B 【解析】
r 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体， 圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，
其表面积为12222r 2?4?r??r?2r??r?2r?2r=5?r?4r2=16 + 20?，
解得r=2，故选B.
（2015年新课标I理科第18题）
俯视图
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， E
F
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC
A D (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
B
C
6
可得BE=2故DF=
22.在Rt?FDG中，可得FG=62. 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=
22， 可得FE=
322.从而EG2?FG2?EF2,所以EG?FG 又AC?FG?G,可得EG?平面AFC.因为EG?平面AEC 所以平面AEC?平面AFC
2）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，
???GB?
为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I）可得A(0，?3,0),E(1，0，2),F(?1，0，22),C(0，3,0)所以
???AE??(1，32),???CF??(?1，3,2???????????AE?????2).故cosAE,CF????AE??CF????CF???33.所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为33. （
高中数学新课标全国1卷《立体几何》研讨（题目有详细答案）
