等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
摘要 利用等价无穷小作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法，围绕无穷小之比、变上限积分的极限、幂指函数和Taylor公式，利用等价无穷小代换思想进行分析应用，以此达到极限求解中化繁为简、化难为易得目的。在求极限过称中，用等价无穷小代替，起到了一种化繁为间的作用，在函数中也能使用等价无穷小 前言 设f在某
Uo?x?有定义，若
0x?x0limf(x)?0 则称f为当x?x0时的无穷小量
设当x?x0时，f于g均为无穷小量 若limx?x0f(x)?1 则称f于g是当x?x0时的等价无穷小量。记作 g(x)f(x)~g(x)(x?x0)
一 、等价无穷小在求函数极限中的应用
1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些0? 1?型的极限的计算
引理 设函数f（x），
f（x）满足下列条件：
在a的某个去心邻域均有非零导数
（1） Limf（x）=0，x?alimf(x)?0；
f?(x)lim?1x?af?(x)（2） 则
limx?af(x)ln(1?f(x))?1lim?1x?aln(1?f(x))f(x)，
（3）当f（x）
，f(x)>0时, limlnf(x)=1
x?alnf(x)证明 由洛比塔法则;
f(x)lim?limx?af(x)x?alimf?(x)?1; f?(x)?1?f(x)f?(x)?ln(1?f(x))?lim?.??1 x?aln(1?f(x))x?a1?f(x)f?(x)??limf(x)f?(x)lnf(x)=lim.?1,证毕
x?alnf(x)x?af(x)f?(x)定理1 设函数f(x),g(x)及f(x),g(x)满足下列条件: （1）在a的某去心邻域均有导数 （2）在x?a时,均为无穷小量,
f?(x)?(x)glim?1,lim?1,于是;
x?af?(x)x?ag?(x)1?g(x)?(1) 若lim???x?a1f(x)?l,lim?1?g(x)?x?ag(x)1f(x)?l
(2) 若f(x), f(x)>0，且limf(x)x?a?t,则limf(x)g(x)?t
x?a证明 由引理 (1)
limx?aln?1?g(x)?f(x)?ln?1?g(x)?f(x)ln?1?g(x)??ln?1?g(x)??????? ?lim?**?lim?x?af(x)f(x)ln?1?g(x)??x?af(x)?????1f(x)故lim?1?g(x)?x?a??lim??1?g(x)?x?a1f(x)?l
(2) limg(x)lnf(x)?lim?g(x)lnf(x)*x?ax?a??g(x)lnf(x)?*g(x)lnf(x) ??limx?ag(x)lnf(x)?故limf(x)g(x)?limf(x)x?ax?ag(x)?t
如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些0?1?型的极限时将很方便. 如x?0时, x,sinx,tanx,ex?1,ln(1?x)等,均为无穷小量,且
sinx???lim?limcosx?1x?0x?x?0tanx???lim?limx?0
x?1?1x?0cos2xe?limx?0x?1??x?0x? ln(1?x)???1lim?lim?1x?0x?01?xx??limex?1例1 求下列函数的极限 (1) lim(1?x)x?0cotx,(2)lim?1?tanx?,(3)lim?1?sinx?
x?0x?01sinx3x2x(4)lim(x?e),(5)lim?1?ln?1?x???x?0x?0?解 (1)原式=lim?1?x?x?03x4xx
1x1tanx?lim?1?x??e
x?0(2)原式=x?0lim(1?x)?e32x
?2(3)原式=lim?1?x?x?01???lim??1?x??x??e?2 x?0??4x1x??lim?2x?1??ex x?e?1?1（4）原式=lim??x?0?x?0x??（5）原式=lim?1?x??e
x?01x例2 求下列函数的极限
sinx(1)lim??cosx?2,(2)limx,(3)lim?tanx???x???xsinx?x?0x?021tanx(4)lim?cotx??x?0?1?,(5)lim??x?0??x?tanx
,(6)lim??tanx?x?2x???2?解 （1） 原式=
?????2lim??sin??x???????2x?2?x?lim??siny??lim?yy?1y?oy?0y（其中，y??2 ?x）
（2）原式=x?0sinxxlimx?limx?1??x?0
（3）原式=x?0xlimx?1?
?1lnx（4）原式=x?0lim?tanx???limx?x?01?lnx?lime?x?01?lnxlnx?e?1
（5）原式=x?0（6）原式=x?0?tanx?xlimx?limx?1??x?0
2ylim?coty???2y?lim?tany??x?0?limy2y?1?x?0
y?（其中
?2?x）
所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，?和 ?都是无穷小，且??0，如果
??1，那么?和?是等价无穷小，记?~?。这意味着在这一极限过程中，?和??tanxsinx趋近于零的速度基本相同。例如因为lim?1，所以当x?0时，?1，limlimx?0xxx,sinx,tanx都是等价无穷小，即sinx~x,tanx~x。
x?0常见的等价形式有：x?0时，
x2x~sinx~tanx,x~arcsinx~arccosx,x~ln(1?x),x~e?1,(1?x)~1?ax,1?cosx~2xa211x1(1?)n?1~1?x?1~x
xn,22 对不定式极限,0?型的计算0?
a~a?,b~b?则
定理2 若在同一极限过程中，a，b是无穷小且
limaa??limbb?
0型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限。但是这种替换只限于
该定理表明，对0整个分子（分母）及其乘积因子，当分子或分母为代数和时，对其中的项却不能随意作等价无穷小替换。例如：
tanx?sinxsin3x时，sinx~x，tanx~x对原式作无穷小替换将导致错误的结果：原求极限x?0x?x1lim3?0式=x?0x（正确结果为2）
lim例3 因为当
x?0时sinx~x~tanxlimlnlntan7x
x?0lntan2xtan7x7?ln7x0?ln7x7x解 原式=lim=lim?lim7x?1
x?0x?00?ln2xx?02tan2xln?ln2x2x2x例4
limsinxx?01lntan2x
解
sinx?lnxxlimx?0tan2xln?ln2x2xlnlimsinxx?01lntan2x?ex?0lntan2xlimlnsinx?e
使用等价无穷小，当
x?0时sinx~x,tanx~x
上式=elnxx?0ln2xlim?e1?e
ln(tan((1?2x)6))例5 求lim
x?0lnsin((1?cosx)3)解 它是算
?型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达法则计?11?2x?...?1
[sin((1?cosx)3)]?1cos((1?cosx)3)3(1?cosx)2sinx[tan((1?2x?1)6)]?1sec2((1?2x?1)6)6(1?2x?1)5原式= limx?0很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到：当x?0时，有
1tan(1?2x?1)6~(1?2x?1)6~((2x))6?x62 2x1sin((1?cosx)3)~(1?cosx)3~()3?x628
等价无穷小在求函数极限中的应用和推广
