必修五:等比数列
知识点一:等比数列的定义、等差中项和通项公式
1.等比数列的定义:2. 通项公式: an?a1qn?1an?q?q?0??n?2,且n?N*?,q称为公比 an?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?, 首项:a1;公比:q qn?m推广:an?amqn?m, 从而得q?ana或q?n?mn amam 等比数列通项公式an?a1q为公比q(q?1)。 3. 等比中项
n?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是关于n的带有系数的类指数函数,底数q2 如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A?ab或A??ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1
【典型例题】
1.等比数列{an} 中,a6=6,a9=9,则a3等于( )
316
A.3 B. C. D.4
29
2. 已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=( )
A.64 B.81 C.128 D.243 3. 已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=______ .
n4. 已知数列{an}的通项公式为an??2,则数列{an} 等比数列数列(填是或者不是),若是则该数
列的首项a1? ,公比q? . 5.设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则
2a1?a2的值为( )
2a3?a4C.
A.
1 4 B.
1 2
1 8)
D.1
6、等比数列?an?中,a2?a3?6,a2a3?8,则q?(
1
A.2 B.
1 2 C.2或
1 2
D.-2或?1 2
【习题实践】
1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a25,a2=1,则a1=( )
12
A. B. C.2 D.2 22
2.如果将20、50、100各加上同一个常数能组成一个等比数列,那么这个数列的公比是( ) A.
12 B.32 C.453 D.3
3.数列?aS?*n?的前n项和记为n,已知an?5Sn?3n?N?,求数列?an?的通项公式.
4.设S2?n,n?N*n为数列?an?的前n项和,Sn?kn,其中k是常数.
(1)求a1和an;
(2)若对于任意的m?N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.
知识点二:等比数列的前n项和Sn
等比数列的前n项和Sn公式: (1) 当q?1时, Sn?na1 (2) 当q?1时,Sa1?1?qn?a1?anqn?1?q?1?q
2
a11?qna1?a1qnaa??1?1qn?A?Bn?A,前n项Sn?系数和常数项是互为相反数的类
??1?q1?q1?q1?q指数函数,底数为公比q。
【典型例题】
1. 设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=7,a5=16,则数列{an}前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 2. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1,则a8=___________.
3. 若等比数列{ann}的前项之和为Sn?3?a,则a等于( )
A.3 B.1 C.0
D.?1
4. 设Sn为等比数列?an?的前项和,已知3S3?a4?2,3S2?a3?2,则公比q? A.3
(B)4
(C)5
(D)6
5. 设等比数列{aq=2,前n项和为SSn}的公比n,则4a=( )
2
A.2 B.4 C.1517
2 D.2
6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,S6=4S3则a4=________. 7. 设f(n)=a+a4+a7+a10+…+a3n+
10(a≠0,n∈N),则f(n)=________. 8. 数列?an?是等比数列,其中Sn=48,S2n=60,求S3n.
【习题实践】
1.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+
1(n∈N),则f(n)等于( )
A.
2?8n?1? B.2?8n?1?1? C. 2?8n?3?1? D.2?8n?47777?1? 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=________.
3.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于( )
A.50 B.70 C.80 D.90 4.已知数列?a8n?为等比数列,若
aa?2,S4?4,则S8等于( ) 4A.12 B.24 C.16
D.32
3
5.已知等比数列前n项和为Sn,
S1031?,则数列的公比为________. S532n2226.等比数列{?an?的前n项和Sn?5?1,则a1?a2???an=( )
2nA.25?1 B.5?1 C.
?n?22n?12?5?1? D.?52n?1? 337.在等比数列{an}中,S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20=_________
n8. 若数列{an}的前n项和为Sn?3?1,则数列{an}的通项公式为___________;
9.若等比数列{an}中,a1?1,an??512,前n项的和为Sn??341,则公比q=______,项数n=____________;
?n10. 在等比数列?an?中,(1)已知S2?30,S3?155,求?an?和Sn;(2)已知Sn?2?1,求?an?和a4
知识点三:等比数列的证明方法、判定方法和性质
1. 等比数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n,都有an?1?qan或an?1?q(q为常数,an?0)?{an}为等比数列 ; an(2) 等比中项:an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列; (3) 通项公式:an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列;
n(4) 前n项和公式:Sn?A?B?A(A,B为常数)?{an}为等比数列;
4
2. 等比数列的证明方法 依据定义:若
an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列。 an?13. 等比数列的性质
(1)若m?n?s?tm,n,s,t?N,则an?am?as?at.特别的,当m?n?2k时,得an?am?ak2 注:a1?an?a2?an?1?a3an?2??? (2)若数列{an},{bn}为等比数列,则 ①数列{?*?ak},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n} (k为非零常数) 均为等比数列;
bnan* ②数列{an}为等比数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列; ③若{an}为等比数列,则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,???,成等比数列
④若{an}为等比数列,则数列a1?a2?????an, an?1?an?2?????a2n, a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列; ⑤ 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列 (3) ①当q?1时, ②当0 {a1?0,则{an}为递增数列a1?0,则{an}为递减数列a1?0,则{an}为递减数列, a1?0,则{an}为递增数列 { ③当q?1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q?0时,该数列为摆动数列. (4)在等比数列{an}中, 当项数为2nn?N时, ?*?S奇1?. S偶q(5)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn?m?Sn?qn?Sm. 【典型例题】 n?1. 已知Sn是数列{an}的前n项和Sn?P(P?R,n?N),那么{an}( ) A.是等比数列 B.当时P?0是等比数列 C.当P?0,P?1时是等比数列 D.不是等比数列 2.已知{an}是等比数列,且an?0,a2a4?2a3a5?a4a6?25,那么a3?a5?( ) 5
必修五--等比数列的知识点归纳和习题训练
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