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请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清
题号
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图, OAB 是等腰三角形,∠ AOB=120°. 以 O 为圆心, 1 OA 为半径作圆 .
2
(Ⅰ)证明:直线 AB 与⊙ O 相切;
(Ⅱ)点 C,D 在⊙ O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明: AB∥CD.
23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
x a cost
xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数, a>0) .在以坐标原 y 1 a sint
点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ.
(Ⅰ)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a.
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24.(本小题满分 10 分),选修 4— 5:不等式选
讲已知函数 f(x)=| x+1| -|2x-3|.
(Ⅰ)在答题卡第 24 题图中画出 y=f(x)的图像;
(Ⅱ)求不等式 | f(x)|>1 的解集 . 2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试 题参考答案
5 分,共 60
分. 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题
71B 2A 3C 4D 5B 6D A 8B 9D 10C 11A 12C
4 小题,每小 二、填空题:本大题共 题 5 分,共 20 分.
2 4 13 . 14. 15. 4π 16. 216000
3 3 .只做 6 题,共 70
分. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
1, b1 , 1 ,解得
1 2 2 2 a1 ? 分
=1 b = =2 2 17.解: (Ⅰ)依题 a b +b =b
3
通项公式为 an=2+3(n-1)=3n- 1 ? 6 分
.?9 分 n + n,n,所以 1
是公比为 1 bn+1 1 { bn 的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3nb =nb = b }
3 3 C P 1 ( 1)n
所以
n 3 3 1 F { bn 的前
?12 n 项和 S
分 } =
1 2 2 3n 1 1 3 A E
D 18. (Ⅰ)证明: PD⊥平面 ABC,∴ PD⊥AB.
G
又 DE⊥平面 PAB,∴ DE⊥AB.∴ AB⊥平面 PDE. ?3 分 B 又 PG 平面 PDE,∴ AB⊥PG.依题 PA=PB ,∴ G 是 AB 的中点.? 6 分
(Ⅱ)解:在平面 PAB 内作 EF⊥PA(或 EF// PB)垂足为 F,
则 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影 . ? 7 分
理由如下:∵ PC⊥ PA,PC⊥PB,∴ PC⊥平面 PAB. ∴EF ⊥PC
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作 EF⊥PA,∴ EF⊥平面 PAC.即 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影 .? 9 分连接 CG,依题 D 是正 ABC 的重心,∴ D 在中线 CG 上,且 CD=2DG. 易知 DE// PC,PC=PB=PA= 6,∴ DE=2, PE= 2 PG
2
3 2 2 2 .
3 3
则在等腰直角 PEF 中, PF=EF= 2,∴ΔPEF 的面积 S=2. 所以四面体 PDEF 的体积 V 1 S DE 4 .
3 3
?12 分
19.解: (Ⅰ)当 x≤19 时, y=3800;当 x>19 时, y=3800+500(x-19)=500x-5700.
3800, x 19 所以 y 与 x 的函数解析式为 y (x N*)
500x 5700,x 19
18 为 0.46,不大于(Ⅱ)由柱状图知,需更换的易损零件数不大于 小
值为 19. ?6 分
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?3 分 19 为 0.7,所以
n 的最
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(Ⅲ)若每台机器都购买 19 个易损零件,则有70 台的费用为 3800, 20 台的费用为 4300, 10 台的费用为 4800,所以 100 台机器购买易损零件费用
的
(3800
平均数为 1 ×70+4300×20+4800×10)=4000. ? 9 分
10
0
90 台的费用为 4000,10 台的费用为 4500,所
若每台机器都购买 20 个易损零件,则有 以
100 台机器购买易损零件费用 的
(4000 平均数为 1 ×90+4500×10)=4050. ?11 分
10
0
比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 .? 12 分 t t22p
, t). 所以 N( 20.解: (Ⅰ)依题 M(0, t),P( , t), ON 的方程为 y x . 2 p p t
解得 y1 =0,联立 y2 =2px,消去 x 整理得 y2=2ty. y2=2t. ?4 分
2
OH
所以 H( 2t ,2t). 所以 N 是 OH 的中点,所以 ?6 分 =2.
p ON
p x ,联立 y2=2px,消去 x 整理得 y2-4ty+4t2=0. (Ⅱ)直线 MH 的方程为 y t
2t 解得
2 即直线 y1 与 只有一个交点 =y
MH C H. =2t.
所以除 H 以外,直线 MH 与 C 没有其它公共点 . ?12 分
21.解: (Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x - 1)(ex+2a). x∈ R ?2 分
(1)当 时,在 (-∞,1)上, f '(x)<0,f(x)单调递
a≥0 减;
?3 分 在(1,+∞)上, f '(x)>0,f(x)单调递增 .
(2)当 a<0 时,令 f '(x)=0,解得 x =1 或 x=ln(-2 a).
≥ 恒成立,所以 ①若 a= e , , 在 ∞ ∞ 上单调递增
ln(-2a) =1 f '(x) 0 f(x) (- ,+ ) . 2
f ②若 a> e , ,在 (ln(-上, , 单调递减;
ln(-2a)<1 2a),1) '(x)<0 f(x) 2
在 (-∞, ln(-2a))与 (1,+∞)上, f '(x)>0,f(x)单调递增 .
③若 a< e , ,在 (1,ln(-上, f , 单调递减;
ln(-2a)>1 2a)) '(x)<0 f(x) 2
在 (-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上, f '(x)>0, f(x)单调递增 .?7 分
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(Ⅱ) (1)当 a=0 时, f(x)=(x -2)ex 只有一个零点,不合要求 . ?8 分 (2)当 a>0 时,由 (Ⅰ)知 f(x)在(-∞,1)上单调递减;在 (1,+∞)上单调递增 . 最小值 f(1)=-e<0,又 f(2)= a>0,若取 b<0 且 b
2
a(b2 3 b) 0 ,所以 f(x)有两个零点 . ?10 分
2
(3)当 a<0 时,在 (-∞,1]上,f(x)<0 恒成立;若 a≥ e ,由(Ⅰ )知 f(x)在(1,+∞)上单调递增,不
2
∞ 上单调递增,也不存在
存在两个零点 .若 a< e , 在 (1,ln(-上单调递减;在 (ln(- f(x) 2a)) 2a),+ 2 个零点 .
综上 a 的取值范围是 (0,1). ?12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
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) 两