数学竟赛培训资料(理工)
第六讲 曲线积分
（一）内容要点及重要方法提示
1.第一型(对弧长)曲线积分. 弧微分ds?dx2?dy2?dz2?dl.
注意无方向问题,一般计算程序: 画出积分路径的图形;将路径用参数式表示;表dl为参变量的微分式后化成定积分计算. (1)化成参变量的定积分计算.
?x2?y2?cz.求L上从原点到点A(x0,y0,z0)的弧长. 例6.1.设c>0为常数,L:?z?y?xtanc解. L的参数方程是:x?z0zzczcosc,y?czsinc,z?z,弧微分ds?2z?c4czdz,因此所求弧长
2z0. s??ds?cz（01?3c）0例6.2.计算均匀密度的球面x2?y2?z2?a2(a?0)在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标. 解.边界曲线的三段弧分别有参数方程:
x=acosθ, y=asinθ, z=0,0≤θ≤π∕2; x=acosφ, y=0, z=asinφ,0≤φ≤π∕2; x=0, y= acosφ, z=asinφ,0≤φ≤π∕2 . 曲线周长s=3aπ∕2,及sx???20acos??ad???2acos??ad?,于是重心坐标x?y?z?0?4a3?.
(2)第一型曲线积分的对称性用法. 例6.3.计算积分I=
4?Lydl,其中L:(x2?y2)2?a2(x2?y2),a>0 .
222解.用极坐标, L:r?ar(cosI=4
??sin2?)?r2?a2cos2?. 根据对称性得积分
22??40rsin??r2?[r?(?)]2d??4a2(1?2).
例6.4.设L是顺时针方向椭圆x4?y?1,周长为l,则(xy?x?4y)ds=.(2001XX赛)
L2?22解.x4?y2?1?x2?4y2?4,根据对称性得积分=4l . 2.第二型(对坐标)曲线积分.
2?CPdx?Qdy?Rdz??F?dl
C注意有方向问题,一般计算方法有: 化成参变量的定积分计算;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算. (1)化成参变量的定积分计算.
例6.5.设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分,则曲线积分解. L:x?于是有积分=3π∕2 . 2cos?,y?2sin?,?:0??2.2222222222?xdy?2ydx= .
L例6.6.设C是从球面x?y?z?a上任一点到球面x?y?z?b上任一点的任一光
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滑曲线(a>0,b>0), 计算积分I=解. rdr=xdx+ ydy+zdz , I=
?rL3(xdx?ydy?zdz),其中r?x2?y2?z2.
?ba55. r3?rdr?15(b?a)(2)格林公式的应用(注意条件) .
当L不闭合时,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式. 例6.7.设L是分段光滑的简单闭曲线, (2,0)、(?2,0)两点不在L上 .试就L的不同情形分别计算如下曲线积分的值:I??L??x?x[(2?x)y2?y2?(2?x)y2?y2]dx?[(2?2?(2?2]dy. (1991XX竞赛) x)2?y2x)2?y2解.令A(2,0) ,B(?2,0) , L包围的平面区域内部为D,记
?(2?x)?xG?D?L,P1?(2?x)y2?y2,P2?(2?x)y2?y2,Q1?(2?2,P?P1?P2,Q?Q1?Q2. 22,Q2?x)?y(2?x)2?y2P1则??[((22??xx))2??yy2]2??y22?Q1?x,?P2?yQ2?[(2?x)2?y2]2???. x(2?x)2?y2(1) A、B均为G的外点,根据格林公式有I=0 .
(2) A为G的内点, B为G的外点,则以A为中心作半径r充分小的闭圆盘E含于D内,记E的正向边界为C ,有 I==
?CL???C??C?D?E??(?Q?xP??1dx?Q1dy??P2dx?Q2dy ?y)d???Pdx?Qdy?0??PCCC?P1dx?Q1dy,且C :x=2+rcosθ, y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=?2π.
(3) A为G的外点, B为G的内点,同理可得I=?2π.
(4) A、B均为G的内点,与(2)相仿,在D内分别以A、B为中心作半径r充分小的闭圆盘使它们的并集含于D内,仍用格林公式可得I=?4π. (3)积分与路径无关的问题.
例6.8.设函数f(x)在(?∞,+∞)内具有连续导数,求积分是从点A(3,2∕3)到点B(1,2)的直线段. (1994竞赛) 解.积分与路径无关,因此积分为
?1?y2f(xy)yCdx?xy2[y2f(xy)?1]dy,其中C
?3321[1?49f(x)]dx??223321y2[yf(y)?1]dy??3??f(u)du??2f(y)dy?1??4.
232232(4)求原函数问题.
例6.9.设函数Q(x, y)在xOy平面上具有连续一阶骗导数,曲线积分关,并且对任意的t恒有
?2xydx?Q(x,y)dy与路径无
L?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x, y). (2001XX)
解.因积分与路径无关,有
?Q?x12xy)2??(??2x,Q(x,y)?x?C(y),其中C(y)为待定函数.又 y221??(t,1)(0,0)(1,t)2xydx?Q(x,y)dy??[t?C(y)]dy?t??C(y)dy,
0t0(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??[1?C(y)]dy?t??C(y)dy,对t??C(y)dy?t??C(y)dy的
00002t21t两边关于t求导得2t=1+ C(t),由此推出Q(x,y)?x?2y?1.
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例6.10.确定常数λ,使在右半平面x>0上的向量A(x, y)=2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x, y)的梯度,并求u(x, y) . (1998研)
解.令P(x, y)=2xy(x4?y2)?,Q(x,y)??x2(x4?y2)?,由?x??Q?P?y解得λ= ?1 .然后有
u(x, y)=
?(x,y)(1,0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?C??arctanxy2?C.
(5)曲线积分的证明题.
例6.11.设P(x, y), Q(x, y)具有连续的偏导数,且对以任意点?x0,y0?为圆心,以任意正数r为半径的上半圆L:x?x0?rcos?,y?y0?rsin? (0????),恒有P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0.
L?证明:P(x,y)?0,?Q(x,y)?x?0 .(2004XX竞赛)
证.记上半圆直径为AB, 取AB+L为逆时针方向,其包围的区域为D,由格林公式与积分中值定理
?AB??AB?L??L??AB?LQ?Q?P?P???(??x??y)dxdy?(?x??y)DM2??2r,M∈D,且
?AB??x0?rx0?rMP(x,y0)dx?P(?,y0)?2r,??[x0?r,x0?r],于是
??x0Q?P(??x??y)??由(x0,y0)的任意性2r?2P(?,y0),令r?0得:limP(?,y0)?0,P(x0,y0)?0.?Q?xMQ?0,??x(x0,y0)Q?0,??x?0 .
知P(x, y)≡0,且
例6.12.设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分
??(y)dx?2xydy2x2?y4L的值恒为同一常数.
(1)证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有
??(y)dx?2xydy2x2?y4C?0;
(2)求函数φ(y)的表达式. (2005研)
解. (1)设C是半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线,在C上任取两点M、N, 围绕原点作闭曲线(如图)进行积分即得证明.
(2)由(1) ,在半平面x>0内积分与路径无关,得
?Q?x43522P?? ???y,??(y)??2y,?(y)y?4?(y)y?2y,??(y)??y?C,C?0,?(y)??y.例6.13.设在上半平面D={(x, y)|y>0}内, 函数f(x, y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有 f(tx, ty)=t?2f(x,y).证明: 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有
?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.(2006研)
证.
?L?0??2??y[yf(x,y)]???x[?xf(x,y)]?2f(x,y)?yf2?(x,y)?xf1?(x,y)?0.又
f(tx, ty)=tf(x,y)?t2f(tx,ty)?f(x,y), 对t求导后,令t=1,即可得结果 .
3.曲线积分的应用题.
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