高中奥林匹克物理竞赛解题方法
十、图像法
方法简介
图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图像法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效的方法。
赛题精讲
例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。AB两地相距s，火
车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为 。
解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解。
根据题意作v—t图，如图11—1所示。
由图可得a1?v t1a2?
vt2s?11v(t1?t2)?vt22①
② ③
由①、②、③解得t?2s(a1?a2)
a1a2例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v0，若前车突然以恒定
的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为 （ ） A．s B．2s C．3s D．4s 解析：物体做直线运动时，其位移可用速度——时间图像
中的面积来表示，故可用图像法做。
作两物体运动的v—t图像如图11—2所示，前车发生的位移s为三角形v0Ot的面积，由于前后两车的刹车加速度相同，根据对称性，后车发生的位移为梯形的面积S′=3S，两车的位移之差应为不相碰时，两车匀速行驶时保持的最小车距2s.
所以应选B。 图11—2
例3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反
比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2=?老鼠从A点到达B点所用的时间t=?
解析：因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出的速度与通过
的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式
1?s图像v1中，所围面积即为所求的时间。以距离s为横轴，为
v11纵轴建立直角坐标系，则s与成正比，作—s图像如
vv直接求解，但可以通过图像法求解，因为在
图11—3所示，由图可得s=2m时，老鼠的速度为10cm/s。
在1m到2m之间图像与横轴包围的面积即为所求的时间，所以老鼠从A到B爬行的时间为
图11—3
t?(111?)?s?7.5s. 0.20.12例4：在一汽缸的活塞下面封闭有μ摩尔理想气，由于受到骤然
加热，气体迅速膨胀，且膨胀过程中其热力学温度与其体
积的平方成正比，即T=KV2。在其体积由V1膨胀至V2
图11—4 的过程中，气体从外界吸收的热量为Q1，试求此过程中
气体的内能增加了多少？
解析：求此过程中气体的内能增加了多少，要用热力学第一定律，由已知条件可知，关键是
要求出气体对外做了多少功，而功可用p—V图像中所围的面积来计算。 以缸内气体为研究对象，根据克拉珀龙方程： pV=μRt ① 又由已知条件有T=KV2 ② ①、②两式可得：p=μRKV
可见气体膨胀时，其压强p与体积V成正比例。
因此作p—V图，如图11—4所示，图中阴影区的面积表示气体在此过程中，对外所做的功W.
W?(p1?p2)1(V2?V2)??RK(V22?V12) 22再由热力学第一定律，可知此过程中气体内能的增加量为
1?E?Q1?W?Q1??RK(V22?V12)
2例5：如图11—5所示，在一个开有小孔的原来不带电的导体
球壳中心O点，有一个点电荷Q，球壳的内外表面半径分别为a和b，欲将电荷Q通过小孔缓慢地从O点移到无穷远处，应当做功多少？
图1—5
解析：球内、外表面上的感应电荷的电量随着放在球心的电荷电量的改变而改变，感应电荷
在球心处产生的电势U?KQ感(感
11?),也与感应电荷的电量Q感成正比，利用U—Qab的图像也可以求出外力做的功。
感应电荷在球心O处产生的电势为U0，则
11U0?KQ感(?)
ab作出U—Q感的图像如图11—5—甲所示，假设电量Q是一份一份地从无穷远处移到球心，而球内外表面上的感应电荷Q感随球心处的电荷增加而增加，在此过程中移动电荷所做的功就应等于U1—Q感图象中阴影部分所示的三角形的面积，则有（ ）
图1—5—甲
W?1Q感U2
11当Q感?Q时,U?U0?KQ(?)abKQ211那么移走Q时所做的功也应(?)2abKQ211所以W?(?)2ab例6：电源电动势为ε，内电阻为r，试求其外电阻为何值时，电源的输出功率最大？
解析：根据全电路欧姆定律得??U?Ir,由此可知当ε、r不变时，U随I线性变化，作U—I图，图中所围面积为功率。
设电源的输出电流为I，路端电压为U，由于以AB线上任U???Ir,故作U—I图如图11—6所示，
意一点和坐标原点为相对顶点所围成的矩形的面积为
图1—6 S=IU
显然S表示此时电源对应的输出功率，要使电源的输出功率最大，即要此矩形的面积最大，由几何知识得，当一个顶点位于AB线段中点C处的矩形面积最大，从图中可得
1U?? ①
2根据欧姆定律有U?由①、②解得R=r
即当外电阻R+r时，电源的输出功率最大，其最大值为
?R?rR ②
?24r
例7：在11—7图中，安培表的读数为I1=20mA。如果电
池εx反向联结，电流增加到I2=35mA。如果电灯发生短路时，电路中的电流I等于多少？灯泡的伏安特性曲线如图11—7—甲所示。
解析：题目中给出ε1的数值为9V，εx的大小不确定。当
εx从正向变为反向联结时，回路的总电动势增大，在εx<ε1和εx>ε1的两种情况下，I2都有可能增加。所以要分两种情况讨论。 由灯泡的伏安特性曲线可知：
当I1=20mA时，有U灯1=3V，I2=35mA时，U灯2=9V 设两个电源的内阻与电流表内阻总和为R内，根据回 路电压方程有：
（1）当?1??x时,有?1??x?U灯1?I1R内 ① ?x反向时,有?1??x?U灯2?I2R内 ② 由①+②得2?1?U灯1?U灯2?(I1?I2)R内 所以R6内?0.055? 将③式代入①式得?x?3.8V ③ 短路瞬间，可视电灯两端电压为零，所以原电路中的电流
I??1??x1?R?0.048A
内（2）当?1??x时,有?x??1?U灯1?I1R内 ④ ?x反向时,有?x??1?U灯2?I2R内 ⑤ ⑤—④得：2?1?2U灯2?U灯1?(I2?I1)R内 所以 R内=12000/15Ω ⑥ 将⑥式代入④式得：?x?28V 当回路短路时，电流为I??x??12?R?0.024A
内例8：如图11—8所示，电源ε=12.0V,内电阻r=0.6Ω,
图11—7—甲
滑动变阻器与定值电阻R0（R0=2.4Ω）串联，当滑动变阻器的滑片P滑到适当位置时，滑动变阻器的发热功率为9.0W，求这时滑动变阻器aP部分的阻值Rx.
解析：由闭合电路欧姆定律作aP两端的Uap—I图像，因图上任意一点的Uap与I所对应的矩形面积是外电路电阻Rx的输出功率，从而由已知Rx的功率求出对应的Rx值。
根据闭合电路欧姆定律U???Ir得
Uap?12?(0.6?2.4)I?12?3I
图11—8—甲
作Uap?I图像如图11—8—甲所示，由图可分析找到滑动变阻器的发热功率为9W的A点和B点，所以Rx有两个值。
Rx1?90?Rx2?1?
例9：如图11—9所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v=20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行。取它刚进入磁场的时刻t=0，在下列图线中，正确反映感应电流随时间
变化规律的是图11—9—甲中的哪一个（ ） 图11—9
图11—9 —甲
解析：可将切割磁感应线的导体等效为电源按闭合电路来考虑，也可以直接用法拉第电磁感
应定律按闭合电路来考虑。
半导线框部分进入磁场时，有恒定的感应电流，当整体全部进入磁场时，无感应电流，当导线框部分离开磁场时，又能产生相反方向的感应电流。所以应选C。
例10：LC振荡回路中电容器两端的电压U随时间t变化的关系如图11—10所示，则（ ） A．在时刻t1，电路中的电流最大 B．在时刻t2，电路中磁场能最大 C．从时刻t2至t3，电路中的电场能不断增大 D．从时刻t3至t4，电容的带电量不断增大
高中奥林匹克物理竞赛解题方法 10图像法
