2020版高中数学 第一章 1.3.2 函数的极值与导数(二)学案 新人教A版选修2-2

2019年

1．3.2 函数的极值与导数(二)

学习目标 1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．

1．极小值点与极小值

(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，并且f′(a)＝0. (2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.

(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值

(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，并且f′(b)＝0. (2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.

(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．用导数求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；

(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；

(3)求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；

(4)以表格形式检查f′(x)＝0的所有实根两侧的f′(x)是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.

类型一 由极值的存在性求参数的范围

132

例1 (1)若函数f(x)＝x－x＋ax－1有极值点，则实数a的取值范围为________．

3(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) C．(0,1)

考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 (1)(－∞，1) (2)B

解析 (1)f′(x)＝x－2x＋a，由题意，得方程x－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1. (2)∵f(x)＝x(ln x－ax)，

∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，且f(x)有两个极值点，

2

2

?1?B.?0，?

?2?

D．(0，＋∞)

2019年

∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点， ln x＋1

令f′(x)＝0，则2a＝，

xln x＋1－ln x设g(x)＝，则g′(x)＝， 2

xx∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0， 而g(x)max＝g(1)＝1， 1∴只需0<2a<1，即0

1．若本例(1)中函数的极大值点是－1，求a的值． 解 f′(x)＝x－2x＋a， 由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，

解得a＝－3，则f′(x)＝x－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值． 2．若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围．

2

2

Δ＝4－4a>0，??2

解 由题意，得方程x－2x＋a＝0有两个不等正根，设为x1，x2，则?x1＋x2＝2>0，

??x1x2＝a>0，

解得0

故a的取值范围是(0,1)．

反思与感悟 函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)＝0根的问题．

1?1＋ln x?跟踪训练1 已知函数f(x)＝，若函数在区间?a，a＋?(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．

2?x?考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 1＋ln x解 ∵f(x)＝，x>0，

xln x则f′(x)＝－2.

x当00，当x>1时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f(x)在x＝1处取得极大值．

1??∵函数f(x)在区间?a，a＋?(其中a>0)上存在极值， 2??

2019年

a<1，??∴?1

a＋>1，??2

1

解得

2

?1?即实数a的取值范围为?，1?. ?2?

类型二 利用函数极值解决函数零点问题

13

例2 (1)函数f(x)＝x－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．

3考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根

?428?答案 ?－，? ?33?

13

解析 ∵f(x)＝x－4x＋4，

3∴f′(x)＝x－4＝(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

2

x f′(x) f(x)

(－∞，－2) ＋ ↗ －2 0 极大值 (－2,2) － ↘ 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ ↗ 28

∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；

34

当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.

3

且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，增．

根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示， 428

结合图象知－

33

132

(2)已知函数f(x)＝x－6x＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝ f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，

3求实数m的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 由f(x)＝x－6x＋9x＋3， 可得f′(x)＝3x－12x＋9，

23

2

＋∞)上单调递

2019年

112

f′(x)＋5x＋m＝(3x－12x＋9)＋5x＋m 33＝x＋x＋3＋m.

则由题意可得x－6x＋9x＋3＝x＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x－7x＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．

∵g′(x)＝3x－14x＋8＝(3x－2)(x－4)， 2

令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.

3

当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：

2

3

2

2

3

2

2

x g′(x) g(x)

?－∞，2? ??3??＋ ↗ 2 30 极大值 ?2，4? ?3???－ ↘ 4 0 极小值 (4，＋∞) ＋ ↗ 1?2?68

则函数g(x)的极大值为g??＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.由y＝f(x)的图象与y＝ f′(x)＋5x＋m的图

3?3?27象有三个不同交点， 2?68??g??3?＝27－m>0，

得?????g?4?＝－16－m<0，

68

解得－16

27

68??即实数m的取值范围为?－16，?. 27??

反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． 跟踪训练2 若2ln(x＋2)－x－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根

解 令g(x)＝2ln(x＋2)－x－x＋b，

22

?5?2x?x＋?2?2?

则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．

x＋2x＋2

当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

x g′(x) g(x)

(－2,0) ＋ ↗ 0 0 极大值 (0，＋∞) － ↘ 由上表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为g(0)＝2ln 2＋b.

2019年

g?－1?≤0，??

结合图象(图略)可知，要使g(x)＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需?g?0?>0，

??g?1?≤0，b≤0，??

即?2ln 2＋b>0，??2ln 3－2＋b≤0，

所以－2ln 2

故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．

1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是( ) ①y＝x； ②y＝x＋1； ③y＝|x|； ④y＝2. A．①② C．③④

考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 B

解析 ①④为单调函数，无极值．

2．函数f(x)＝ax＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( ) A．1，－3 C．－1,3

考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 A

解析 ∵f′(x)＝3ax＋b， 由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，

?3a＋b＝0，?∴???a＋b＝－2，

2

3

3

2

xB．②③ D．①③

B．1,3 D．－1，－3

∴a＝1，b＝－3.

3

2

3．已知函数f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．(－1,2)

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D

B．(－3,6)

D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)