基本要求、重点和难点
一、基本要求
（1）了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电子网络的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。 （3）能够用分析法求系统的传递函数。
（4）掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
（5）了解传递函数方框图的组成及意义；能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方框图，并实现简化，从而求出系统传递函数。
（6）掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。 （7）了解相似原理的概念。
（8）了解系统的状态空间表示法，了解MATLAB中，数学模型的几种表示法。 二、本章重点
（1）系统微分方程的列写。
（2）传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。 （3）传递函数方框图的绘制及简化。 三、本章难点
（1）系统微分方程的列写。
（2）传递函数方框图的绘制及简化。
概述
系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运动状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。对于同一系统，数学模型可以有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析法和实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构及
参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。对于复杂系统的建模往往是一个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。
第一节 系统的微分方程
列写系统或元件微分方程的一般步骤为： （1）确定系统或元件的输入量和输出量；
（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分方程；
（3）消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式；
（4）将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。
在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。对于机械类的读者，往往需要列写机械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握如表2.1.1所示的常见元件的物理定律。
表2.1.1 常见元件的物理定律
系统类别 元件名称及代号 质量元件m 机械系统（直线运动） 弹性元件k 符号 所遵循的物理定律 阻尼元件c 电容C 电网络系统 电感L 电阻R 如果系统中包含非本质非线性的元件或环节，为研究系统方便，通常可将其进行线性化。非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一工作点（或称平衡点）附近展开成泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项，并将其写成增量坐标表示的微分方程。
第二节 系统的传递函数
一、传递函数
对于线性定常系统，传递函数是一种常用的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入量的Laplace变换之比。
若线性定常系统输入
与输出
之间关系的微分方程为
（2.2.1） 则，系统以
为输出、
为输入的传递函数可表示成：
（2.2.2）
系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在于系统，因此，
时，
时输入才开始作用时系统处于及其各阶导
及其各阶导数均为零；二是指在
时，输出
相对静止的状态，即系统在工作点上运行，因此数也均为零。现实的工程控制系统多属此类情况。 传递函数具有以下特点：
（1）传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。
（2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。
（3）传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。
（4）传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。
（5）不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。
（6）传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。
二、传递函数的零点、极点和放大系数
传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的点均称为极点。
机械控制工程基础第二章系统的数学模型
