分式方程与二次根式方程
〖知识点〗
分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根 〖大纲要求〗
了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。
内容分析
1．分式方程的解法 (1)去分母法
用去分母法解分式方程的一般步骤是：
（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解这个整式方程；
(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法
用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数． 2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法
用两边平方法解无理方程的—般步骤是：
(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解这个有理方程；
(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去． 在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法
用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．
〖考查重点与常见题型〗
考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现 在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。
考题类型
x2－13x3x
1．（1）用换元法解分式方程2 ＋3x ＝3时，设2 ＝y，原方程变形为（ ）
x－1x－1 （A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0
2．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（ ）
（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0 m＋1x＋12x
3．若解分式方程 －2 ＝x 产生增根，则m的值是（ ）
x－1x＋x
（A）－1或－2 （B）－1或2 （C）1或2 （D）1或－2
41
4．解方程x － ＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整
x－1式为（ ）
（A）x－1 （B）x（x－1） （C）x （D）x＋1 5．先阅读下面解方程x＋x－2 ＝2的过程，然后填空.
解：（第一步）将方程整理为x－2＋x－2 ＝0；（第二步）设y＝x－2 ，原方程可化为y2＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，x－2 ＝0；解得 x＝2，当y＝－1时，x－2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程x－2 ＝－1无解原根据是＿＿。上述解题过程不完整，缺少的一步是＿＿＿。 考点训练：
1． 给出下列六个方程：1）x2－2x＋2＝0 2）x－2 ＝1－x 3）x－3 ＋x－2 ＝0 4）x＋1 ＋2＝0 5）111x ＋ ＝0 6） ＋1＝ 具中有实数解的方程有（ ） xx－1x－1x－1（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）多于2个
2x1
2． 方程2 －1＝ 的解是（ ）
x－4x＋2（A）－1 （B）2或－1 （C）－2或3 （D）3
x－3m
3． 当分母解x 的方程 ＝ 时产生增根，则m的值等于（ ）
x－1x－1 （A）－2 （B）－1 （C）1. （D）2 4． 5． 6． 7．
方程2x－3 －x＋1 ＝0的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 能使（x－5）x－7 ＝0成立的x是＿＿＿＿＿＿。
关于x的方程m(m－1)x＋3 ＝2x－15是根式方程，则m的取值范围是＿＿＿＿＿。 解下列方程：
12x＋1x2－1343x5
（1）2 － ＝ （2）2 ＋3x ＝ 2
2x－7x＋51－x 2x－5 x－1171
（3）x2＋ x2 －2 （x－x ）＋1＝0 解题指导： 1． 解下列方程：
x－221
（1）x＋2 ＝x （2）2 ＋ ＝2
x－9 x(x－3) x＋3x6
（3）x2＋2x＋2＝ （4）3x＋2 －x－8 ＝32
（x＋1）2独立训练
1． 方程x(x2＋1) ＝0的解是_______. 方程2x＋3 ＝－x的解是_______，方程___________ .
xx
2．设y＝ ____时，分式方程（ ）2＋5（ ）＋6＝0可转化为__________.
x－1 x－1
3．用换元法解方程2x－3x2＋43x2－2x＋5 ＋1＝0可设y ＝_________.从而把方程化为_____________.
4．下列方程有实数解的是（ ）
（A）x＋2 ＋5＝4 （B）3－x ＋x－3 ＝0
236
（C）x2－2x＋4＝0 （D） ＋ ＝2
x＋1x－1 x－15．解下列方程. (1)
x＋2x＋4111
=2 （2）2 － ＝ x ＋1 x－2 x－4 x＋2x x＋2
14
＝ 的解是 x－1 x＋2
a－x4（b＋x）
（3） ＝5－ (a＋b≠0) （4）2－x ＋5－4x ＝2
b＋xa－x
11
(5) 2x2－4x－3x2－2x－4 ＝10 （6）4（x2＋ x2 ）－5（x－x ）－14＝0 （7）3x2＋15x＋23x2＋15x＋1 ＝2 (8)
x＋2
＋ x－1
x－15
＝ 2 x＋2
xm+1x+1
6．若关于x的方程x-2 - x2+2 = x +1产生增根，求m的值。
2mx3
m为何值时，关于x的方程x-2 - x2-4 = x+2 会产生增根。 x-18x+ax
7. 当a为何值时，方程x - 2x(x-1) + x-1 =0只有一个实数根。 xx+14x+a
方程x+1 + x = - x(x+1) 只有一个实数根，求a的值 36x+m
8．当m为何值时，方程x + x-1 - x(x-1) = 0有解
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