等腰三角形
一.选择题
1. 1（2019?广西北部湾经济区?3分）如图，在△ABC中，AC=BC，
∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ） A. 400 B. C. D. 【答案】C 【解析】
解：由作法得CG⊥AB， ∵AB=AC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B， ∵∠ACB=180°-40°-40°=100°， ∴∠BCG=∠ACB=50°．
故选：C．
利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质． . 2. 3.
二.填空题 1. 2. 3. 4. 5.
三.解答题
1. （2019?浙江杭州?8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B． （2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
1
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P， ∴PA＝PB， ∴∠B＝∠BAP， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ， ∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ， ∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
2.（2019?河南?10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想 如图1，当α＝60°时，
的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是
2
60° ． （2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出就图2的情形说明理由． （3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时
的值．
的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并
【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
3
∵∠PAD＝∠CAB＝60°， ∴∠CAP＝∠BAD， ∵CA＝BA，PA＝DA， ∴△CAP≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠BEO＝∠CAO＝60°， ∴
＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为1，60°．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°， ∴∠PAC＝∠DAB， ∵
＝
＝
，
∴△DAB∽△PAC， ∴∠PCA＝∠DBA，＝
＝
，
∵∠EOC＝∠AOB， ∴∠CEO＝∠OABB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．4
CE＝EA，CF＝FB， EF∥AB，
EFC＝∠ABC＝45°， PAO＝45°， PAO＝∠OFH， POA＝∠FOH， H＝∠APO，
APC＝90°，EA＝EC， PE＝EA＝EC，
EPA＝∠EAP＝∠BAH， H＝∠BAH， BH＝BA，
ADP＝∠BDC＝45°， ADB＝90°， BD⊥AH，
DBA＝∠DBC＝22.5°， ADB＝∠ACB＝90°， A，D，C，B四点共圆，
DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°， DAC＝∠DCA＝22.5°，
DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝
a，5
∵∴∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠∵∠∴∴∠∴∠∴∵∠∴∠∴∴∠∵∠∴∠∴∠∴
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题22 等腰三角形(含解析)(003)
