专题强化训练(十九) 解析几何
x2y21
1．[2019·长沙一模]已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别
ab3
4
为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝(O为坐标原点)．
3
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)分别与l1，l2交于点M，N，求证：∠MF1N＝∠MF2N.
解：(1)如图，连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，
所以BO为△F1AF2的中位线，又BO⊥F1F2，
b28
所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝＝，
a3c122222
又e＝＝，a＝b＋c，所以a＝9，b＝8，
a3
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
98
(2)由(1)可得，F1(－1,0)，F2(1,0)，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.
??x＝－3，由?
?y＝kx＋m?
x2y2
??x＝3，得?
?y＝3k＋m，?
??x＝－3，得?
?y＝－3k＋m，?
??x＝3，
由?
?y＝kx＋m，?
所以M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
→→
所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4,3k＋m)， →→22
所以F1M·F1N＝－8＋m－9k.
xy??＋＝1，联立?98
??y＝kx＋m22
得(9k＋8)x＋18kmx＋9m－72＝0.
222
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝(18km)－4(9k＋8)(9m－72)＝0， 化简得m＝9k＋8.
2
2
2
2
2
→→22
所以F1M·F1N＝－8＋m－9k＝0， π→→
所以F1M⊥F1N，故∠MF1N＝.
2π→→
同理可得F2M⊥F2N，∠MF2N＝. 2故∠MF1N＝∠MF2N.
2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C1：x＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)＋y＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．动点M在C1的准线上，动点A在C1上，→→→
若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN＝MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
解：解法一：依题意设M(m，－3)，
由(1)知抛物线C1的方程为x＝12y，所以y＝，
12所以y′＝，
6
设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝，
61
所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.
6
121
令x＝0，则y＝－x1＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，
66→
所以MA＝(x1－m，y1＋3)， →
2
2
2
2
x2
xx1
MB＝(－m，－y1＋3)，
→→→
所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m,6)， →→→
所以ON＝OM＋MN＝(x1－m,3)． 设N点坐标为(x，y)，则y＝3， 所以点N在定直线y＝3上． 解法二：设M(m，－3)，
由(1)知抛物线C1的方程为x＝12y ①，
12?12?设l2的斜率为k，A?x1，x1?，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋x1 12?12?
2
②，
12??2
联立①②得，x＝12?k?x－x1?＋x1?，
12??
因为Δ＝144k－48kx1＋4x1＝0，所以k＝，
6112
所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x1.
61212??令x＝0，得B点坐标为?0，－x1?，
12??12?→?
所以MA＝?x1－m，x1＋3?，
12??→
2??MB＝?－m，－x1＋3?，
22
x1
?
112
?
→→→
所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m,6)， →→→
所以ON＝OM＋MN＝(x1－m,3)， 所以点N在定直线y＝3上．
x2y2
3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)经过点M(－2,1)，且右焦点
abF(3，0)．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
→→
(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA·MB，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．
x2y2x22222
解：(1)由椭圆2＋2＝1的右焦点为(3，0)，知a－b＝3，即b＝a－3，则2＋
aba＝1，a>3.
a－3
2
y2
2
41
又椭圆过点M(－2,1)，∴2＋2＝1，
aa－3又a>3，∴a＝6.
∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.
63
(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
2
x2y2
xy??＋＝1由?63??y＝k?x－1?
2
2
22
2
得x＋2k(x－1)＝6，
222
即(1＋2k)x－4kx＋2k－6＝0， ∵点N(1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，
2
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理+Word版含答案
