2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i为虚数单位，则复数
5?6i? iA．6?5i B．6?5i C．?6?5i D．?6?5i
2. 设集合U??1,2,3,4,5,6?,M??1,2,4?，则CUM?
A．U B．?1,3,5? C．?3,5,6? D．?2,4,6?
uuuruuuruuur3. 若向量BA?(2,3),CA?(4,7)，则BC?
A．(?2,?4) B．(2,4) C．(6,10) D．(?6,?10) 4. 下列函数中，在区间(0, ??)上为增函数的是
1?1?A．y?ln(x?2) B．y??x?1 C．y??? D．y?x?
x?2??y?2?5. 已知变量x,y满足约束条件?x?y?1，则z?3x?y的最大值为
?x?y?1?A．12 B．11 C．3 D．?1 6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12? B．45? C．57? D．81?
7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为
0的概率是
x41 B． 9321C． D．
99A．
8. 对任意两个非零向量α,β，定义αoβ=α?β?a,b的夹角??(0,)，,若向量a,b满足|a|?|b|?0，
β?β4且aob和boa都在集合?|n?Z?中，则aob=
?n?2??A．
135 B．1 C． D． 222二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9~13题）
9. 不等式|x?2|?|x|?1的解集为 。
10. (x?)的展开式中x的系数为 。（用数
字作答）
211. 已知递增的等差数列?an?满足a1?1,a3?a2?4，则
21x63an? 。
12. 曲线y?x?x?3在点(1,3)处的切线方程
为 。
13. 执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为 。 （二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2参数方程分别为
3???x?2cos??x?t(?为参数)，(t为参数)和?则曲线C1和C2????y?t?y?2sin?的交点坐标为 。
15. （几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A,B,C为圆
周上的三点，满足?ABC?30?，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA? 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?2cos(?x?1）求?的值； 2）设?,??[0,
?6)（其中??0,x?R）的最小正周期为10?
?2],f(5??5?65?16)??,f(5??)?，求cos(???)的值。 3561717. （本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
?40,50?,?50,60?,?60,70?,?70,80?,?80,90?,?90,100?。
1）求图中x的值；
2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为?，求?的数学期望。
18. （本小题满分13分）
如图5，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA?平面ABCD，点E在线段PC上，PC?平面BDE
（1）证明：BD?平面PAC
（2）若PA?1,AD?2，求二面角B?PC?A的正切值。 19．（本小题满分14分）
n?1*设数列?an?的前n项和为Sn，满足2Sn?an?1?2?1,n?N，且a1,a2?5,a3成等差数列。
（1）求a1的值；
（2）求数列?an?的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有
1113??L??。 a1a2an220. （本小题满分14分）
x2y2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?ab2，且椭圆3C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l:mx?ny?1与圆O:x?y?1相交于不同的两点A,B，且?AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的?AOB的面积；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分）
设a?1，集合A??x?R|x?0?,B?x?R|2x2?3(1?a)x?6ax?0，D?AIB （1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f(x)?2x?3(1?a)x?6ax在D内的极值点。
3222??2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案：
1—8: DCAAB CDB
注：第8题解析：因为aob?b?a|b|a?b|a|2?cos??cos??1 ，boa??cos??cos??a?a|a|b?b|b|2且aob和boa都在集合{|n?Z}中， 所以，boa?n2|b|1|b|1|a|cos??，?cos??2cos2??2 ，所以aob?|a|2|a|2cos?|b|所以
2?aob?2，故有aob?1 2
9. (??,]（写成集合形式也给分?x|x??? ） 10. 20 11. 2n?1 12. 2x?y?1?0 13. 8 14. (1,1) 15. 3 第9题注解：
12??1?2?|x?2|?|x|?1?|x-(-2)|-|x-0|?1 即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分12分）
已知函数f(x)?2cos(?x?（1）求?的值；
?6)（其中??0,x?R）的最小正周期为10?
5?65?16)??,f(5??)?，求cos(???)的值。
2356172?1 解：（1）由题意?10?，解得??。
?5（2）设?,??[0,?],f(5???634???2cos(??)??sin??cos?????????2555（2）由题?，即?，又?,??[0,]，可得?，
168152?2cos???cos???sin?????171717???所以cos(???)?cos?cos??sin?sin??4831513?????。 5175178517. （本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
?40,50?,?50,60?,?60,70?,?70,80?,?80,90?,?90,100?。
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为?，求?的数学期望。
解：（1）由题意：(0.054?0.01?0.006?3?x)?10?1，解得x?0.018；
（2）80~90分有50?0.018?10?9人；90~100分有50?0.006?10?3人。
?所有可能的取值为0, 1, 2
2012广东高考数学理科试题及答案
