高中数学 必修五数列导学案 加课后作业及答案

高中数学 必修五数列导学案 加课后作业及答案

必修五数列导学案

§2.1 数列的概念及简单表示（一）

【学习要求】

1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法．

3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．

③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式

问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？

探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？

数列 －1,1，－1,1，… 1,2,3,4，… 1,3,5,7，… 2,4,6,8，… 1,2,4,8，… 1,4,9,16，… 1111，，，，… 234通项公式 an＝ an＝ an＝ an＝ an＝ an＝ an＝ 【学法指导】

1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．

3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】

1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为 ．

3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式．

【问题探究】

探究点一 数列的概念

问题 先看下面的几组例子：

（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； 1111

（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，，，，；

2345

（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；

（5）当n分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．

探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法

问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，…

①用公式法表示：an＝ ； ②用列表法表示：

1111

（2）数列：1，，，，，…

2345①用公式法表示：an＝ . ②用列表法表示：

【典型例题】

例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）an＝cos

nπ； 2

1

. n＋1

111

（2）bn＝＋＋＋…＋1×22×33×4n

小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考

虑运算化简后再求值．

跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．

n1?(?1)（1）an＝2n＋1；（2）bn＝

2

例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； 1925

（2），2，，8，，…；

222

（3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，….

小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： 1111

（1）2，4，6，8，…；

24816（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； 1111

（3）－，，－，，….

261220

1

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－1

例3 已知数列{an}的通项公式an＝

2n－1（1）写出它的第10项；

2

（2）判断是不是该数列中的项．

33

n

n＋1

.

2n＋1

2．数列{n2＋n}中的项不能是 A．380

( )

B．342 C．321

D．306

( )

3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是 A．an＝n2－n＋1 n?n＋1?

C．an＝

2

小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项． 跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝

n11

(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．

120n＋2

n?n－1?

B．an＝

2D．an＝n2＋1

1234

4．已知数列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( )

2345【当堂检测】

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

1．下列叙述正确的是 ( )

5．在数列2，2，x,22，10，23，…中，x＝______. A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}

6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：

C．数列0,1,0,1，…是常数列 D．数列{n

n＋1}是递增数列

2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，….

3．已知下列数列：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 ____________．

（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12

n－12，3，…，n

，…；

7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) n－1

（3）1，12，1123

－1·n4，…，2n－1，…； （4）1，－3，5，…，2n－1，…；

（1）3,5,9,17,33，…； （5）1,0，－1，…，sin nπ

（2）2468

2

，…； （6）6,6,6,6,6,6.

3，15，35，63

，…；

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是（3）1,0，－111

________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上) 3，0，5，0，－7，0，….

4．写出下列数列的一个通项公式： （1）a，b，a，b，…； （2）－1，81524

5，－7，9

，….

8．已知数列{n(n＋2)}：

【课堂小结】

（1）写出这个数列的第8项和第20项；

1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数

（2）323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．

2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．

3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我二、能力提升

们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．

9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式an等于

( )

【课后作业】

A．1

9(10n－1)

B．1

3(10n－1)

一、基础过关

C．13(1－1

10

n)

D．3

10

(10n－1)

1．数列23，45，67，8

9，…的第10项是

( )

10．设an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3

＋…＋1

2n (n∈N*)，那么an＋1－an等于

( )

A．16

17

B．18

C．201921

D．2223

2

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1A．

2n＋1

1B．

2n＋2D．

11

－ 2n＋12n＋2

11C．＋

2n＋12n＋2

项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．

2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．

11．由花盆摆成以下图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．

【知识要点】

1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式．

2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ．

3．一般地，一个数列{an}，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果数列{an}的各项都 ，那么这个数列叫做常数列．

4．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝1，则an＝ ，从单调性来看，数列是单调 数列．

12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．

（1）求{an}的通项公式； （2）88是否是数列{an}中的项？

三、探究与拓展

?9n2－9n＋2?

?： 13．已知数列?2

?9n－1?

【问题探究】

公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{an}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，an＋1＝an＋an－1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式． 探究点一 数列的函数特性

问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识． 探究1 数列的单调性

下面给出了一些数列的图象：

（1）求这个数列的第10项；

98

（2）是不是该数列中的项，为什么？

101（3）求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

12?

（4）在区间??3，3?内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．

§2.1 数列的概念及简单表示（二）

【学习要求】

1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．

an＝2n－1

【学法指导】

1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几

3

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2112

跟踪训练1 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝，＋＝(n∈N*，n≥3)，求a3，a4.

3an－2anan－1

n2

例2 已知数列{an}的通项公式为an＝2.求证：数列{an}为递增数列．

n＋1

小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．

an

跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是 ( )

bn＋1A．an>an＋1

9n

例3 已知an＝

B．an

n＋1

(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，n

10

1an＝

n

说明理由．

小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n的值可通过解不

???an≥an－1?an≤an－1

等式组?来确定；若求最小项an，n的值可通过解不等式组?来确定．

?an≥an＋1?an≤an＋1??

an＝(－1)n

观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．

因此，要证明数列{an}是单调递增数列，只需证明an＋1－an 0；要证明数列{an}是单调递减数列，只需证明an＋1－an 0.

探究2 数列的周期性

已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？

探究点二 由简单的递推公式求通项公式

问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？

探究1 对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立．试根据这一结论，求解下列问题．

已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，试求通项an.

a2a3an

探究2 若数列{an}中各项均不为零，则有：a1···…·＝a成立．试根据这一结论求解下列问题．

a1a2an－1n已知数列{an}满足：a1＝1，

ann－1

＝(n≥2)，试求通项an.

nan－1

跟踪训练3 在数列{an}中，an＝n3－an，若数列{an}为递增数列，试确定实数a的取值范围．

【当堂检测】

1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是 ( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( ) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 3．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列中最大项的值是( ) A．107

B．108

1

C．108

8

D．109

4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于 ( ) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n

【课堂小结】

1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法．

2．函数与数列的联系与区别

一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．

另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的有限子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增?an＋1>an对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{an}递减?an＋1

4

【典型例题】

例1 在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项． 小结 已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可．

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【课后作业】

一、基础过关

11

1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋n，则此数列的第4项是

22A．1

1

B．

2

3

C．

4

5D．

8

( ) ( )

n－98

10．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是

n－99A．a1，a30 C．a10，a9

B．a1，a9 D．a10，a30

( )

11．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________． 1

12．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．

2

( )

三、探究与拓展

2－na2＋a13．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋1nn＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求{an}的通项公式．

2．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于 25

A．

9

25B．

16

61C．

16

31D．

15

an

3．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第7项是

3an＋11

A．

16

1B．

17

1C．

19

1D．

25

4．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是 ( ) A．9

B．17

C．33

D．65

5．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，n∈N*，则使an>100的n的最小值是________． 1

6．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，则通项公式an＝________.

n?n＋1?7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．

§2.2 等差数列（一）

【学习要求】

1．理解等差数列的意义．

2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． 3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．

8．已知函数f(x)＝2x－2x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：数列{an}是递减数列．

二、能力提升

－

【学法指导】

1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式． 2．利用an＋1－an＝d(n∈N＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．

【知识要点】

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示．

2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_________，并且A＝ . 3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝ ________. 4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为 数列；若公差d<0，则数列{an}为 数列．

( )

9．已知数列{an}满足an＋1

?＝?

?1≤a<1?.2a－1 ??2?

n

n

10≤an

6

若a1＝，则a2 012的值为

73

C．

7

【问题探究】

1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．

5

6A．

7

5

B．

7

1D． 7