附录：协方差矩阵及n维正态分布
1、设n维随机变量(X1,X2,?,Xn)的二阶混合中心矩
cij?Cov(Xi,Xj)?E{[Xi?E(Xi)][Xj?E(Xj)]},i,j?1,2,?,n
都存在，则称矩阵：
?c11c12?c1n???c?c2n??c Σ??2122???????c??n1cn2?cnn?为n维随机变量(X1,X2,?,Xn)的协方差矩阵。它是一对称矩阵。
2、n维正态分布
? 定义：若n维随机变量(X1,X2,?,Xn)的概率密度可以表示成以下的形式:
f(x1,x2,?,xn)?f(x)?1?1?T?1????exp?x?μΣx?μ?? n/21/2(2?)(detΣ)?2?其中: x?(x1,x2,?,xn)T，μ?(?1,?2,?,?n)T?(E(X1),E(X2),?,E(Xn))T，
Σ是(X1,X2,?,Xn)的协方差矩阵，则称n维随机变量(X1,X2,?,Xn)为n维正态
随机变量，记为：X?(X1,X2,?,Xn)~N(?,?)，f(x1,x2,?,xn)为n维正态概率密度函数，。 ?
n维正态随机变量的性质
（1）
n维正态随机变量(X1,X2,?,Xn)的每一个分量都是正态变量；反之，若
X1,X2,?,Xn都是正态随机变量，且相互独立，则(X1,X2,?,Xn)是n维正态
随机变量 （2）
n维随机变量(X1,X2,?,Xn)服从n维正态分布的充要条件是
X1,X2,?,Xn的任意的线性组合l1X1?l2X2???lnXn服从一维正态分布。
（3）
若(X1,X2,?,Xn)服从n维正态分布，设Y1,Y2,?,Yk是Xj(j?1,2?,n)的线性函数，则(Y1,Y2,?,Yk)也服从多维正态分布。 （4）
若X?(X1,X2,?,Xn)~N(?,B)，C?(cjk)m?n为任意的矩阵，则有：
Y?CX为服从m元正态分布，即Y?CX~N(C?,CBCT)。
（5）
设(X1,X2,?,Xn)服从n维正态分布，则“X1,X2,?,Xn相互独立”与
“X1,X2,?,Xn两两不相关”是等价的。
例：设X1,X2,?,Xn是取自正态总体N(?,?)(??0)的简单随机样本。记
21kXk??Xi,1?k?n，求统计量T?Xk?Xk?1的分布。
ki?1解：由于 T?Xk?Xk?1?111X1???Xk?Xk?1
k(k?1)k(k?1)k?1因此：ET?0，D(T)?11112222 ?????????222k(k?1)[k(k?1)][k(k?1)](k?1)因此：T~N(0,
1?2)
k(k?1)
附录：协方差矩阵及多元正态分布
