【最新】数学《集合与常用逻辑用语》专题解析(1)
一、选择题
1．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A．必要不充分条件 条件 【答案】C 【解析】
当a?0时，方程ax2?1?0，即x??2B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
1，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，a2符合题意；当方程ax2?1?0至少有一个负数根时，a不可以为0，从而x??1，所以aa?0，由上述推理可知，“a?0”是方程“ax2?1?0至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
0；命题q:直线l:x?y?m?0与圆2．已知命题p:?x?R,sinx?cosx?1…C:(x?2)2?(y?1)2?8相切的一个充分不必要条件是m??5；则下列命题中是真命题
的是（ ） A．p 【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简命题p，利用特殊值判断命题p为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m的值，判断出命题q为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】
命题p:?x?R,sinx?cosx?1?0 由辅助角化简可得sinx?cosx?1?可知当x??B．p?(?q)
C．(?p)?q
D．p?q
???2sin?x???1，
4????3??时，2sin?x???1?0，故p为假；
4?4?22命题q:直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切的一个充分不必要条件是
m??5
22若直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切，则d?|2?1?m|?22， 2即d?|m?1|?4，解得m?3或m??5，故q为真， 故(?p)?q为真，
故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
3．已知p，q是两个命题，那么“p?q是真命题”是“?p是假命题”的( ) A．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
由充分必要条件及命题的真假可得：“p?q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件，得解. 【详解】
解：因为“p?q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以?p是假命题， 由“?p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p?q是真命题”， 即“p?q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件， 故选：C． 【点睛】
本题考查了充分必要条件及命题的真假，属于基础题．
B．充分必要条件 D．必要不充分条件
4．已知命题p:?m?R，m?1?0，命题q:?x?R，x2?mx?1?0恒成立，若p，q至少有一个是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．??2,?1? 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可判断命题p为真命题，所以可得命题q必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】
因为p，q中至少有一个为假命题，而命题p:?m?R，m?1?0为真命题； 所以命题q必定为假命题，所以??m2?4?1?0，解得m??2或m?2. 又命题p:?m?R，m?1?0为真命题，所以m??1，于是m??2. 故选：B. 【点睛】
本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
B．???,?2?
C．?2,?1
??D．??1,???
5．已知下列四个命题
P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??； P2：若f(x)?ex?e?x，则?x?R,f(?x)??f(x)
P3：若f(x)?x?1则?x0?(0,??),f?x0??1 x?1P4：在VABC中，若A?B，则sinA?sinB
其中真命题的个数是（ ） A．1 【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面垂直关系判断P1错误；根据函数奇偶性判定P2正确，利用基本不等式性质判断
B．2
C．3
D．4
P3不正确，结合三角形边角关系判定P4正确.
【详解】
解：P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??不一定成立，必须是任意直线；故命题P1错误，
P2：若f(x)?ex?e?x，则f(?x)?e?x?ex??f(x)，即?x?R,f(?x)??f(x)成
立；命题正确，
P3：当x??1时，f(x)?x?当且仅当x?1?111?x?1??1…2(x?1)??1?2?1?1， x?1x?1x?112，即(x?1)?1，得x?0时取等号，则?x0?(0,??),f?x0??1不x?1成立，故命题为假命题，
P4：在VABC中，若A?B，则a?b，由正弦定理得sinA?sinB，即命题为真命题.
则正确的命题的个数是2， 故选：B. 【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
6．“a?0”是“函数y?eA．充分不必要条件 条件 【答案】C 【解析】
|x|解析：若a?0，则y?e是偶函数，“a?0”是“函数y?ex?ax?a为偶函数”的（ ）
C．充要条件
D．既不充分也不必要
B．必要不充分条件
为偶函数”的充分条件；若
x?a函数y?ex?a为偶函数，则对称轴为x?0，即x?a?0，则“a?0”是“函数y?e为
偶函数”的必要条件，应选答案C．
7．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
2①命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”；
②若正整数m和n满足m?n，则m?n?m??n； 2③在?ABC中 ，A?B是sinA?sinB的充要条件；
④一条光线经过点P?1,3?，射在直线l:x?y?1?0上，反射后穿过点Q?1,1?，则入射光线所在直线的方程为5x?3y?4?0；
⑤已知f(x)?x3?mx2?nx?k的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m?n?k为定值. A．2 【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
2①，命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”，故①
B．3 C．4 D．5
错误.
②，由于正整数m和n满足m?n，n?m?0，由基本不等式得
m?n?m??m?n?mn?，当m?n?m即n?2m时等号成立，故②正确. 22③，在?ABC中，由正弦定理得A?B?a?b?sinA?sinB，即
A?B?sinA?sinB，所以A?B是sinA?sinB的充要条件，故③正确.
④，设Q?1,1?关于直线x?y?1?0的对称点为A?a,b?，则线段AQ中点为
?a?1b?1?2?2?1?0???a?1b?1?b?1,，则，解得a?b??2，所以A??2,?2?.所以入射光??1??22???kAQ?2?1a?1??1?2?y?3x?1?，化简得5x?3y?4?0.故④正确. ?2?3?2?1⑤，由于抛物线的离心率是1，所以f(1)?0，即1?m?n?k?0，所以m?n?k??1线为直线AP，即为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
?x?y?1?0?8．已知?7x?y?7?0，表示的平面区域为D，若“?(x,y),2x?y?a”为假命题，则实
?x?0,y?0?数a的取值范围是（ ） A．[5,??) 【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“?(x,y),2x?y?a”为真命题，由恒等式的思想可得实数
B．[2,??)
C．[1,??)
D．[0,??)
a的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令Z?2x?y得y??2x?Z，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值，
?x?y?1?0?47?联立直线方程?得点A?,?，所以Z?2x?y的最大值为5，
?33??7x?y?7?0因为“?(x,y)?R,2x?y?a”为假命题，所以“?(x,y),2x?y?a”为真命题，所以实数a的取值范围是5?a， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
9．下面说法正确的是（ ）
A．命题“若??0，则cos??1”的逆否命题为真命题 B．实数x?y是x2?y2成立的充要条件
C．设p，q为简单命题，若“p?q”为假命题，则“?p??q”也为假命题
2D．命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，使得x2?x?1?0”
【答案】A
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