t?t21 f?x???dt?x?ln?1?x2??arctanx． 21?t20x?x21?2x?x2 由f??x??得函数f?x?的驻点x1?0,x2??1．而f???x??．所以，
221?x21?xx?? f???0??1?0，f????1???1?0． 21?ln2?是函数f?x?极大值． 24所以，f?0??0是函数f?x?极小值；f??1???1?三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），
11．求曲线y?x的一条切线，使得该曲线与切线l及直线x?0和x?2所围成的图形绕x轴旋
转的旋转体的体积为最小． 解：
设切点坐标为t,?t，由y??12t，可知曲线y?x在t,?t处的切线方程为
?y?t?因此所求旋转体的体积为
2????1?x?t??? V??????0???2t212t?x?t?，或y?12t?x?t?．
?????8??x?dx???4?2t?
4?3t???2所以，
dV??822????2?2??0．得驻点t??，舍去t??．由于 dt4?3t33?d2V
dt2?2t?3?1643t2?t?23?0，因而函数V在t?2处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切3线方程为y?31x?． 42 12．设函数f?x?在闭区间?0，1?上连续，在开区间?0，1?内可导，且
2?f?x?e?arctanxdx?01，f?1??0． 26 / 7
证明：至少存在一点???0，1?，使得f????? 解：
?1?1???arctan?2．
因为f?x?在闭区间?0,1?上连续，所以由积分中值定理，知存在???0,??2?，使得 ???2??ef?x?arctanxdx?2???arctan?．
0?ef2?由于?ef?x?arctanxdx?102，所以，2?ef???arctan??12．再由f?1??0，得 ef???arctan????1?4?efarctan1．
作函数g?x??ef?x?arctanx，则函数在区间??,1???0,1?上连续，在区间??,Rolle中值定理，存在????,1???0,1?，使得g?????0．而 ?x? g??x??ef?x?f??x?arctanx?ef1?x2． 所以存在????,1???0,1?，使得
ef????ef???f???arctan??1??2?0．
由于ef????0，所以f????arctan??11??2?0，即f??????1?1??2?arctan?．
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?内可导．所以由
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大学高数期末考试题及答案
