第一学期高等数学期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），
1．求极限 解：
x?1?cosx??2xlimx?0sin3x．
xx??1?cosx??x1?cosx??2????1????1xx2?????1?cosx??22??lim???lim? lim 333x?0x?0x?0sinxxx ?lime?1?cosx?xln???2??1x?0x3?limex?0?1?lim1?cosxx?0xln2?1?cosx?xln???2?xln1?cosx1?cosxln22 ?lim32x?0xx ?lim?sinx1??．
x?0?1?cosx?2x43x2 2．设x?0时，f?x?与是等价无穷小，
2 解：
?f?t?dt与Ax03xk等价无穷小，求常数k与A．
3x 由于当x?0时，
?0f?t?dt与Axk等价无穷小，所以lim?f?t?dt0xx?0Axk?1．而
2??1x313??ftdtfx???3?32fx23?3x23?x0??lim?lim lim2kk?1x?0x?0x?0?AxAkxAkxk?13?x?2?11?1k?1,A?所以，lim．因此，．
x?06Akxk?163x??????22??331??limx?x?lim k?1k?1x?0x?0?6Akx6Akx??? 3．如果不定积分
??x?1??1?x?22x2?ax?bdx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件．
解：
1 / 7
将
?x?1??1?x2x2?ax?b2??化为部分分式，有
x2?ax?b?x?1?2?1?x2?ABCx?D， ??22x?1?x?1?1?x因此不定积分
??x?1??1?x?22x2?ax?bdx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数
A?C?0．
即
x2?ax?b?x?1?2?1?x2?BDB?1?x2??D?x?1?． ???2222?x?1?1?x?x?1??1?x?2222所以，有x?ax?b?B1?x?D?x?1???B?D?x?2Dx??B?D?．
2??比较上式两端的系数，有1?B?D,52a?2D,b?B?D．所以，得b?1．
5．计算定积分min1,0??x?2?dx．
解： min1,??x?2x?2????1x?2?1
x?2?1x?1?1?2?x1?x?2? ??．
x?22?x?3??x?3?152所以，min1,0??x?2?dx??1dx???2?x?dx???x?2?dx?012125213． 8 5．设曲线C的极坐标方程为r?asin 解： 曲线r?asin3?33?3，求曲线C的全长．
?3一周的定义域为0?3?22?3??，即0???3?．因此曲线C的全长为
6 s???r??????r?????d???200asin?3?asin24?3cos2?33?d???asin20?3d???a． 322 / 7
二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．求出函数f?x??limn??? 解：
sin??x?2n的所有间断点，并指出这些间断点的类型．
1??2x?1??sin??x?x?2?11x??sin??x??22??fx?lim??2n n???1??2x?11．
??x??22?1?0x???2因此x1??11与x2?是函数f?x?的间断点． 22x??12x??12x??12 lim?f?x??lim?0?0，lim?f?x??lim?sin??x???1，因此x??x??121是函数f?x?的第一类可2去型间断点．
lim?f?x??lim?sin??x??1，lim?f?x??lim?0?0，因此x?x??12x??12x?12x??121是函数f?x?的第一类可去型2间断点．
7．设?是函数f?x??arcsinx在区间?0,求极限lim 解：
f?x??arcsinx在区间?0,b?上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，
?bb?0．
b?上应用Lagrange中值定理，知存在???0,b?，使得
arcsinb?arcsin0?211??2?b?0?．
?b?所以，?2?1???．因此，
arcsinb???b?1???2??2arcsinb??b2arcsinb???lim2 lim2?lim 22b?0bb?0b?0bb?arcsinb?令t?arcsinb，则有
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2t2?sin2tt2?sin2t?lim lim2?lim2 4b?0bt?0tsin2tt?0t ?lim?22t?sin2t2?2cos2t11?cos2t12sin2t1?lim?lim?lim?
t?0t?04t312t26t?0t26t?02t3所以，lim?bb?0?1． 31?x 8．设f?x?? 解：
?e0y?2?y?dy，求?f?x?dx．
01?f?x?dx?xf?x???xf??x?dx
10001?x11在方程f?x??1?1?e0y?2?y?dy中，令x?1，得
0 f?1???e0y?2?y?dy??ey?2?y?dy?0．
0y?2?y?再在方程f?x??11?x?e0dy两端对x求导，得f??x???e111?x2，
因此，
?f?x?dx?xf?x???xf??x?dx???xf??x?dx
100001 ?xe0?1?x21dx?e?xe?x0x221?12?dx?e???e?x???e?1?．
?2?021 9．研究方程e?ax 解：
设函数f?x??axe?a?0?在区间???,???内实根的个数．
2?x?1，f??x??2axe?x?ax2e?x?ax?2?x?e?x．
令f??x??0，得函数f?x?的驻点x1?0,由于a?0，所以 limf?x??limaxex???x???x2?2．
?2?x?1????，
x22x2?1??alimx?1?alimx?1?alimx?1??1．
x???ex???ex???e4 / 7
limf?x??limaxex???x????2?x因此，得函数f?x?的性态
x ?? ???,? 0? 0 0 ?0,2? ? 2 0 4ae?2?1 ?2,??? ? ?? f??x? f?x? ?? ? ?1 ? ? ?1 e22?x ⑴ 若4ae?1?0，即a?时，函数f?x??axe?1在???,0?、?0,2?、?2,???内
4?2各有一个零点，即方程e?ax在???,x2???内有3个实根．
e22?x ⑵ 若4ae?1?0，即a?时，函数f?x??axe?1在???,0?、?0,???内各有一个零
4?2点，即方程e?ax在???,x2???内有2个实根．
e22?x ⑶ 若4ae?1?0，即a?时，函数f?x??axe?1在???,0?有一个零点，即方程
4?2ex?ax2在???,???内有1个实根．
10．设函数f?x?可导，且满足
f???x??x?f??x??1?，f?0??0．
试求函数f?x?的极值． 解：
在方程f???x??x?f??x??1?中令t??x，得f??t???t?f???t??1?，即
f??x???x?f???x??1?．
在方程组??f??x??xf???x??x中消去f???x?，得
??xf??x??f???x???xx?x2f??x??．
1?x2t?t2dt．即 积分，注意f?0??0，得f?x??f?0???21?t0x5 / 7
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