学 习 资 料 专 题
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
疱工巧解牛
知识?巧学
一、平面向量的数量积与投影 1.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ. 根据定义，若a=0，则0·b=0.
所以规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b=0. 误区警示 两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点：
①两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.
②两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的.
③在实数中，若a≠0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量.因为其中cosθ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0. ④已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc?a=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b=b·ca=c.
⑤对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a、b、c，(a·b)c=a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立. 2.向量a在b方向(或b在a方向)上的投影
图2-4-2
OB=b， 如图2-4-2，已知OA=a，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ.
|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做a在b方向上的投
影.a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积. 二、两个向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量， 1.a⊥b?a·b=0.
证明：若a⊥b，则a与b的夹角θ=90°，所以a·b=|a||b|cos90°=0；
唐玲
反过来，a·b=|a||b|cosθ=0，因|a|≠0，|b|≠0，所以cosθ=0， 所以θ=90°，则a⊥b.
学法一得 数量积的这条性质是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.
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2.当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=a=|a|，或|a|=a?a.
学法一得 该条性质实现了实数与向量的联系，我们在求向量模时，往往先求模的平方，借助向量的数量积运算进行. 3.|a·b|≤|a||b|.
由数量积的定义a·b=|a||b|cosθ可知 |a·b|=|a||b||cosθ|. ∵0≤θ≤180°， ∴|cosθ|≤1.
∴|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|.
学法一得 由1、2、3这三条性质可知，向量的数量积可以用来处理有关长度、角度、垂直的问题.
三、平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ. 1.a·b=b·a.
证明：设a与b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ，b·a=|b||a|cosθ， ∴a·b=b·a.
2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
证明：若λ>0，(λa)·b=λ|a||b|cosθ， λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，
a·(λb)=|a||λb|cosθ=|a||λ||b|cosθ=λ|a||b|cosθ， ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
若λ<0，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ， λ(a·b)=λ|a||b|cosθ，
a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ. ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 3.(a+b)·c=a·c+b·c.
学法一得 要推证向量数量积的运算律，要利用数量积的定义表示出左边与右边，因为实数的运算律是已知的，从而借助已有的实数的运算律来论证向量数量积的运算律.把未知的问题转化为已知的问题来解决，体现了化归思想的运用. 典题?热题
知识点一 平面向量数量积的定义 例1 判断下列各题正确与否：
①若a=0，则对任一向量b，有a·b=0;
②若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0; ③若a≠0，a·b=0，则b=0;
④若a·b=0，则a、b至少有一个为零向量; ⑤若a≠0，a·b=a·c，则b=c;
⑥若a·b=a·c，则b=c当且仅当a≠0时成立. 答案：①√；②×；③×；④×；⑤×；⑥×.
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例2 已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为在a方向上的投影是__________.
思路分析：a在e方向上的投影是|a|cos
2?，则a在e方向上的投影是__________;e32?1=4×(?)=-2;e在a方向上的投影是322?11= 1×(?)=?. 3221答案：-2 ?
2|e|cos
知识点二 两个向量的数量积的性质
?，求|a+b|，|a-b|的值. 3?222
解：∵|a+b|=a+2a·b+b=25+25+2|a||b|cos=75，∴|a+b|=53.
3?222
同理|a-b|=a-2a·b+b=25+25-2|a||b|cos=25.
3例3 已知|a|=|b|=5，a与b的夹角为∴|a-b|=5.
方法归纳 由数量积定义式a·b=|a||b|cosθ得cosθ=
a?b，它是一种等价形式，侧
|a||b|重于两向量的夹角问题.求向量的夹角或平面几何图形中求角的问题可考虑用这个性质来解.
例4 已知a、b，a·b=40，|a|=10，|b|=8.求a与b的夹角. 解：∵a·b=|a||b|cosθ，θ为a、b的夹角， 而a·b=40，|a|=10，|b|=8， ∴cosθ=
401?.∴θ=60°， 10?82即a、b夹角为60°.
例5 已知|a|=2，|b|=2，a与b的夹角为45°，λb-a与a垂直，则λ=_________. 思路分析：∵λb-a与a垂直，∴(λb-a)·a=0， 即λa·b-a=0.∴λ·22cos45°-4=0.得λ=2.
2
答案：2
例6 证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思路分析：前提是平行四边形对角线互相垂直，结论是要证其为菱形，即需证邻边相等.如何把对角线的关系转化为边的关系呢？可结合向量的加减法.
解：设在平行四边形OACB中，对角线OC和AB互相垂直，即OC⊥AB.
图2-4-3
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∴OC·AB=0.
又OC=OA+OB，AB=OB-OA， 于是，(OA+OB)·(OB-OA)=0， 即OB2-OA2=0.∴|OB|=|OA|.
∴平行四边形OACB是菱形.
知识点三 运用数量积的运算律来解题
例7 若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( ) A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)c=a(b·c)
思路分析：对于实数a、b、c，它们之间的运算满足(ab)c=a(bc)，但对于向量没有这样的运算律. 答案：D
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知识点四 公式(a+b)=a+2a·b+b和(a+b)·(a-b)=a-b
例8 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a+3b|等于( )
A.7 B.10 C.13 D.4 思路分析：|a+3b|=|a|+6a·b+9|b|=|a|+6|a||b|cos60°+9|b|=13, ∴|a+3b|=13.
答案：C
例9 已知|a|=13，|b|=19，且|a+b|=24，求|a-b|的值. 思路分析：解题时要将数量积作为联系已知条件和未知值之间的一座桥梁，利用模与数量积的性质求解.
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解：(a+b)=|a+b|?a+2a·b+b=|a+b|, 即169+2a·b+361=576，2a·b=46,
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故|a-b|=a-2a·b+b=169-46+361=484,所以|a-b|=22.
例10 已知a与b的夹角为30°，且|a|=3，|b|=1，求向量p=a+b，q=a-b的夹角的余弦值.
思路分析：由两向量的数量积和模求夹角的余弦.
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解：∵|p|=|a+b|=a+2a·b+b=3+23cos30°+1=7，∴|p|=7；
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同理可求得|q|=1. ∴cosθ=
p?q227. ??|p||q|77知识点五 向量数量积与垂直
例11 已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma-3b. (1)当m为何值时，c与d垂直? (2)当m为何值时，c与d共线?
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思路分析：利用向量垂直、共线的充要条件构造关于m的方程求解. 解：(1)由向量c与d垂直?c·d=0， 而c·d=(3a+5b)·(ma-3b)
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=3ma+(5m-9)a·b-15b =27m+3(5m-9)-60， ∴42m-87=0.∴m=即m=
27， 1427时，c与d垂直. 14(2)由c与d共线?存在实数λ，使得c=λd.
∴3a+5b=λ(ma-3b)， 即3a+5b=λma-3λb.
5????,???m?3,?3又∵a与b不共线，∴?解得λ=?
??3??5.?m??9.?5?即当m=-?9时，c与d共线. 5问题?探究 材料信息探究
问题 关于平面向量的数量积的运算，我们学习了三个运算律： a·b=b·a(交换律)；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律)； (a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
它为我们实施向量的有关运算提供了理论上的保证. 对于这一点我们该如何理解？
探究过程:它一方面提示了平面向量的数量积的运算规律，另一方面又融入了平面向量的加法、实数与向量的积的相关内容.因而，平面向量的运算，由原有的加减法、实数与向量积的基础上，又注入了新的生机和活力.随着平面向量内容的不断丰富，我们对平面向量的了解也就越来越多，从而，用平面向量理论解决问题的观念思想就会逐步得到形成，策略、方法也就更加灵活了.所有这些，都集中体现在长度问题、角度问题、平行问题、垂直问题的交汇上，由平面向量的数量积的运算律解决有关问题. 探究结论:上面的三条运算律是基础内容，除了它们以外，还要掌握下面的这些常见的结论：22222
a=|a|；(a+b)(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d；(a+b)=a+2a·b+b，这些结论将有助于解决向量的求值、化简等问题.
唐玲
高中数学第二章2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义知识巧解学案新人教A版必修74
