如图 7,设 AM 二 x.AB 二 4.BC = 2. 由4尸+ / = （4 -4E）2,可得
Rt/^EAM 中，
AE = 2 - 4-x2
O EM 二 4 — 2 +
根据AAEM s △DMP,可知 C4DMP _ DM _ 2 -兀 j = IT二 % （4 + 勿）
7
图7
8（2 -兀）
C△佃“ AE
16 - x
8\
这个周长是随着AM的变化而变化的.
可以看出，一般的矩形不具备这类特征，说明正方形所具有的不变性不是继承矩形的, 它是继承了菱形的特征才具有的.
再进一步思考：这种周长不变性的特征是否是菱形独有的，其它的四边形是否也有？ 经过儿何画板的反复演示和探究，发现梯形有时也具有这种周长不变性，此时梯形的 下底和右腰相等.
变式三 如图8,梯形ABCD中，AD〃BC,且BC=CD=4,点M是上底AD ±任 意一点，连结BM,作BM的垂直平分线交AB于点E,交CD于点F,以EF为对称轴作 BCFE对称图形交CD于
点P,此时△ DMP周长一定.
但是本题的证明遇到了困难，因为四个角的度数无法确定，而且AD、AB的长度也 不确定，而几何画板演示真真切切的表明此时的△ DMP周长为定值，难道ADMP周长与
图8
AD、AB的长度无关？
其实，该图正是菱形的一个剪切图（如图9）?其中图9的左侧的虚线是和问题的周长 无关，折痕EF与原菱形的折痕一致，显然，该图屮AOMP周长为定值，问题获得解决.
因此，这类问题中，只耍梯形下底和右腰相等，那么该问题中三角形周长就为定值（特 别地ZC=90° 时为 2BC=8）.
由以上变式过程发现，我们应该思考如下一些问题：
（1） 在知识的海洋里，能否将一个问题寻找到它的归宿（寻找变式目标）； （2） 如何将该问题，送到它的归宿处（寻找解答，探求本质）；
（3） 怎么判断己经达到归宿处，即对问题的认知结构的形成进行评价与监控（不断反 思）;
（4） 如何更好、更快地将这类问题送到归宿处（--题多解，选择最佳）； （5） 达到同一归宿处的问题还有哪些（一法多用）.
在这些问题思索中，一题多解、一题多变、一法多用即能综合体现出来.因此，在教 学中，我们不能简单地把题目解一下就算了，而要对于问题的内在规律进行深度思考.
4 - x
DMP =
16 -x 8 - 2算cos a
77 2 X
(16 -/)cos(180° - a) ■
4 一 xcos a 8 一 2久cos a (4 + 兀)(4 一 4cos a) = \\ x 4 + x 二 8 - 8 cos a.
(特别地a = 90。吋结果为& ) 故厶卩。“的周长保持不变. 这说明，一旦菱形确定下來后，该问题的结论是一个常数. 进一步思考：
变式二问题2中的正方形变成一般矩形，其它条件不变，结论怎样？
中考数学复习指导：关于一题多解和一题多变变式问题的思考.doc
