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平面向量的线性运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算．
3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算． 5．掌握向量共线的条件． 【要点梳理】
要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则
已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB?a,BC?b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记作a?b，即a?b?AB?BC?AC．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量a,b，作AB?a,AD?b，则A,B,D三点不共线，以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线AC?a?b．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，我们规定a?0?0?a?a． 要点诠释：
两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
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要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
A1An?A1A2?A2A3?????An?1An
特别地，当A1与An重合，即一个图形为封闭图形时，有
A1A2?A2A3?????An?1An?AnA1?0
2．向量加法的运算律 （1）交换律：a?b?b?a； （2）结合律：(a?b)?c?a?(b?c) 要点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 (1)当a,b不共线时，|a?b|?|a|?|b|；
(2)当a,b同向且共线时，a?b,a,b同向，则|a?b|?|a|?|b|；
|a?b|?|a|?|b|；(3) 当a,b反向且共线时，若|a|?|b|，则a?b与a同向，若|a|?|b|，
则a?b与b同向，|a?b|?|b|?|a|．
要点四：向量的减法 1．向量的减法
（1）如果b?x?a，则向量x叫做a与b的差，记作a?b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量．
（2）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a?b?a?(?b)．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
要点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
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（2）对于相反向量有a?(?a)?0；若a，b互为相反向量，则a??b,a?b?0． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2．向量减法的作图方法
（1）已知向量a，b，作OA?a,OB?b，则BA?a?b=OA?OB,即向量BA等于终点向量（OA）减去起点向量（OB）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a?b．作
OA?a,OB?b,AC??b，则OC?a?(?b)，如图．由图可知，一个向量减去另一个向
量等于加上这个向量的相反向量．
要点五：数乘向量 1.向量数乘的定义
实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作：?a (1)|?a|?|?||a|；
(2)①当??0时，?a的方向与a的方向相同； ②当??0时.?a的方向与a的方向相反；
???????③当??0时，?a?0.
2．向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积?a的几何意义是：?a可以由a同向或反向伸缩得到．当|?|?1时，表示向量a的有向线段在原方向（??0）或反方向（??0）上伸长为原来的|?|倍得到?a；当0?|?|?1时，表示向量a的有向线段在原方向（??0）或反方向（??0）上缩短为原来的|?|倍得到?a；当??1时，?a=a；当???1时，
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北京四中数学必修四平面向量的线性运算提高版
