第十一章 广义积分
§11.1 无穷限广义积分
1. 求下列无穷积分的值： （1）
????2??1dx； x2?11dx；
x(1?x2)xe?axdx(a?0)；
2（2）
2（3）（4）. （5）
???0????0e?axsinbxdx(a?0)；
??0xdx； 1?x2dx(x2?p)?(x2?q)(p,q?0)．
（6）
???0解 （1）
???2A111A?111dx?limdx?lim(ln?ln)?ln3． 22?2A???A???2A?132x?1x?1（2）
????1??A111A21dx?limdx?lim(ln?ln2)?ln2． 222?1A???A???22x(1?x)x(1?x)1?A（3）
0xe?ax2dx?limA???0?Axe?axdx?lim2211． （1?e?ax）?A???2a2a（4）设I??e?axsinbxdx (a?0)，则
0??1bAAAI?lim?0e?axsinbxdx?lim(?e?axsinbx0??e?axcosbxdx)
A???A???aa0AbA?ax ??2lim(ecosbx0?b?e?axsinbxdx)
0aA???Abb2bb2?ax ?2?2lim?esinbxdx?2?2aaA???0aa???0e?axbb2sinbxdx?2?2I，
aa所以 ，I?b． 22a?b（5）作变换x?y，则有
22y(1?2y?y2)?y(1?2y?y2)x2y22dx?dy?dy ??1?x2?1?y422(1?2y?y)(1?2y?y)222d(1?2y?y)1d(y) ??24?1?2y?y22?12?(y?)2222d(1?2y?y)1dy ?)?2??24211?2y?y2?(y?)22221?2y?y2?ln?[arctan(2y?1)?arctan(2y?1)]?C 41?2y?y22y?x所以，
22(1?2x?x)2ln?[arctan(2x?1)?arctan(2x?1)]?C， 41?x22?A0x2(1?2A?A)2dx?ln?[arctan(2A?1)?arctan(2A?1)]
421?x21?A2?2??2(?)??2222(A???)，
2即，
???0x2dx??． 221?xdx?(a2?x2)n的地推公式，
(6) 由于当p?q时，用In?dxdx1x1dx????(x2?p)(x2?q)?(x2?p)22px2?p2px2?p
?1x1x?arctan?C
2px2?p2ppp所以，p?q?0时，
A???0lim?Adx1A1A?， ?lim(?arctan)?222A???2p(x?p)A?p2ppp4pp当p?q时，由于
dx1(p?q)dx111??(??(x2?p)(x2?q)p?q?(x2?p)(x2?q)p?q?x2?qx2?p)dx
?所以，当p?q时，
11x1x(arctan?arctan)?C， p?qqqpp???0Adxdx?lim 222?0A???(x?p)(x?q)(x?q)?limA???11A1A? (arctan?arctan)?p?qqqpp2pq(p?q)两种情况下，即只要p,q?0，就有
????3??0dx?． ?22(x?p)(x?q)2pq(p?q)2. 讨论下列积分的收敛性： （1）
dxx?140；
（2）
?????0arctanxdx；
1?x3sin1x2（3）
＋?1dx；
（4）
??０1dx；
1?xsinx（5）
?????0??xdx； 221?xsinxxmdx(n,m?0)； n1?xx2dx ；
x4?x2?1（6）
0（7）
??０（8）
????31x1?x21dx；
（9）
??0x2e?xdx(p?0)；
（10）
????1??lnxdx； xplnnxdx （n是正整数）； x2sin2xdx； x（11）
1（12）
???0cosax?01?xndx； ??11（14）?[ln(1?)?]dx；
1x1?x??11（15）?ln(cos?sin)dx；
1xx（13）
??（16）
???０1?sin2ln?2?1?2x?433x???dx． ??1解 （1）limxx???21x?14?1，所以积分???3dxx?140收敛．
xarctanx??，故所求积分收敛．
x???21?x31sin212x?1，因此所求积分收敛． （3）limxsin2?limx???x???1xx2（2）limx（4）?x?0，有
11??0，且
1?xsinxx?1Adxdx?lim??limln(1?A)???，
0A???1?x1?xA????即
??０???0??dxdx发散，由比较判别法知?发散．
０1?xsinx1?x???0xxx，而??0limx?1，无穷积分
x???1?x21?x2sin2xx2?1??xxdxdx发散． 发散，由比较判别法知222?0x?11?xsinx（5）?x?0，有
xn?1，所以， （6）因为limx???1?xn当n?m?1，即n?m?1时，
???0xmdx收敛；当n?m?1，即n?m?1时，1?xn???0xmdx发散． n1?xx2?1 （7）limx4，所以积分收敛．
x???x?x2?12（8）limxx???5331x1?x2?lim13x???1?1x2?1，所以积分收敛．
x2?p(2?p)x1?p?lim?? （9） 因为limx(xe)?limxx???x???exx???e2p?x(p?2)(p?1)?(p?[p])xp?[p]?0， ?limxx???e所以无穷积分收敛．
（10） 若p?1，则可以选取?0?0，使得p??0?1，由于
x???limxp??0lnxxp?limlnx?0，
X???x?0所以
???1lnxdx收敛； px??1??lnxlnx1，而发散，由比较判别法，?dxdxpppp??11xxxx若p?1，则当x?e时，发散．
从而，
???1lnx?收敛,p?1时,dx? px?发散,p?1时．（11）由于
lnnxlnnxlnn?1x1limx?lim?lim2n???lim2n?2(n?1)?2?0， 2111x???x???x???x???xx2x2x2所以无穷积分
32???1lnnxdx收敛． x2sin2x1?cos2x1cos2x???（12） 因为，而 x2x2x2x?A0cos2xdx?11(sin2A?sin0)?， 22
数学分析简明教程答案
