则在开区间（a,b）内必定 (至少) 存在一点
, 使得
三者关系
第四讲
第二章 高等代数
考点：1、掌握矩阵、行列式的性质，求解线性方程组的方法。
2、会化二次型为标准型，会判断二次型的正定性。 3、了解线性空间的定义及简单性质，线性变换的定义、性质及欧氏空间的一些概念。
考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。 2、在历年考试中，行列式的计算和性质、克莱姆法则、矩阵的概念及运算、矩阵的性质、线性空间的定义及简单性质是考查的重点，考生
在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。
1、行列式的性质：
性质1：行列互换，行列式不变。
性质2：
即一行的公因子可以提出
去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。 性质3：
即如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。
2、矩阵：
（1）定义： 由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成 m行n列的数表，
叫做m行 n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，aij叫做矩阵A的第i行第j列的元素。
上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij) mxn矩阵A也记为Amxn
（2）矩阵的加法：两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法的运算律：
由此规定矩阵的减法为
（3）数与矩阵相乘：以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数λ与矩阵A的积，记作λA或Aλ，如果A=(aij)mxn ，那么
数乘矩阵的运算规律：
注意： 矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。 矩阵的特征值与特征向量
定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx (1)成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，( A-λE)X=0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0 , (3)
3、线性空间
定义：设V是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素
总有唯一的一个元素 若对于任一数
与之对应，称为α与β的和，记作? = α+ β。
与任一元素
，总有唯一的一个元素
与之对应，称为λ与α的积，记作δ= α+λ。
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）． 3、线性空间
线性空间的性质： 1．零元素是唯一的．
2．负元素是唯一的．向量α的负元素记为 — α
4．如果 λα=0则λ=0或 α=0 . 4、欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作
（ α、β ） 若（ α、β ）满足性质：
教师资格证高中数学讲义
