3.2.3 空间的角的计算
学 习 目 标 1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点) 2.二面角的求法．(难点) 3.空间三种角的范围．(易错点) 核 心 素 养 1.通过求平面的法向量，培养数学运算素养． 2.借助空间角的求解，提升逻辑推理素养.
空间角的向量求法
(1)两条异面直线所成角的向量求法
若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，
b〉|.
(2)直线和平面所成角的向量求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为θ1，l与α所成的角|a·n|为θ2，则sin θ2＝|cos_θ1|＝. |a||n|
(1) (2)
(3)二面角的向量求法
设二面角α-l-β的大小为θ，α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，
n2〉|＝|n1·n2|，θ取锐角还是钝角由图形确定．
|n1||n2|
思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] (1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
- 1 -
π?π?－〈a，n〉，〈a，n〉∈?0，?，?2??2?θ＝?π?π，π?.
〈a，n〉－，〈a，n〉∈?2???2??
(2)
条件
平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ， 图形 关系 计算
θ＝φ cos θ＝cos φ θ＝π－φ cos θ＝－cos φ 1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－则l与α所成的角为( )
A．30° C．150°
B．60° D．120°
3
，2
B [设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝
3
，∴θ＝60°，应选B.] 2
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．
30° [由题意得，直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面
α所成的角为90°－60°＝30°.]
3．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为________．
5
[如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)． 10
- 2 -
→→
∴AC＝(1,1,0)，BC1＝(0,1,3)， →→
→→AC·BC1
cos〈AC，BC1〉＝
→→|AC||BC1|＝
?1，1，0?·?0，1，3?15
＝＝.
2×102010
5
.] 10
综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为
4．已知二面角α-l-β，α的法向量为n＝(1,2，－1)，β的法向量为m＝(1，－3,1)，若二面角α-l-β为锐角，则其余弦值为________．
66n·m1－6－166 [cos〈n，m〉＝＝＝－. 11|n||m|116·11又因二面角为锐角，所以余弦值为
66
.] 11
求两条异面直线所成的角 【例1】 如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线
A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，
O1(0,1，3)，A(3，0,0)，A1(3，1，3)，B(0,2,0)，
→
∴A1B＝(－3，1，－3)，
O1A＝(3，－1，－3)．
→→|A1B·O1A|
∴|cos〈A1B，O1A〉|＝
→→|A1B|·|O1A|
→
→
＝
|－3－1＋3|1
＝. 77·7
→
1
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
7
1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和
- 3 -
论证过程，只需对相应向量进行运算即可．
?π?2．由于两异面直线夹角θ的范围是?0，?，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应
2??
有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意．
1．已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则
AE，SD所成的角的余弦值为( )
1
A. 3C.
3
3
B.
2
3
2D. 3
的棱长
C [依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S-ABCD为2，
则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)， 1??1
∴E点坐标为?，0，?，
2??2→→
1??1
AE＝?，1，?，
?22?
SD＝(－1,0，－1)，
→→
∴cos〈AE，SD〉＝
－16
·22
＝－
3， 3
故异面直线所成角的余弦值为
3
.故选C.] 3
求直线与平面所成的角 【例2】 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[思路探究] (1)线面平行的判定定理?MN∥平面PAB.
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角?直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
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[解] (1)证明：由已知得AM＝2
3
AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知
TN∥BC，TN＝12
BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形， 于是MN∥AT.
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB.
(2)如图，取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD， 且AE＝AB2
－BE2
＝
AB2－??BC?2
??2?
＝5. 以A为坐标原点，→
AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N??5?2，1，2?
??
， →
PM＝(0,2，－4)，PN→
＝?
?5?→?5?
?2，1，－2??，AN＝??2，1，2??
. ?设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则??
n·→PM＝0，
??n·→PN＝0，
?2y－4z＝0，即?
??5
?2x＋y－2z＝0，
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，→AN〉|＝|n·→
AN|85
|n||→＝AN|25.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为85
25
.
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
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2024_2024学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算讲义苏教版选修2_1
