高中物理竞赛习题专题：电势 电容器
1.将带电量为Q 的导体板A 从远处移至不带电的导体板B 附近，如 图（ａ）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板距离为d（d（１） 忽略边缘效应求两导体板间的电势差； （2） 若将B 接地，结果又将如何？
． S）
解 （１） 如图（ｂ）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得
?σ1?σ2?S?Q
?σ3?σ4?S?Q
σ1?σ4?0 σ2?σ3?0
解得
σ1?σ2??σ3?σ4?两导体板间电场强度为E?Q 2SQ；方向为A 指向B． 2ε0SQd 2ε0S两导体板间的电势差为 UAB?（2） 如图（c）所示，导体板B 接地后电势为零．
1
σ1?σ4?0
σ2??σ3?两导体板间电场强度为E??Q SQ；方向为A 指向B． ε0SQd ε0S两导体板间的电势差为 U?AB?2.如图所示球形金属腔带电量为Q ＞0，内半径为ɑ，外半径为b，腔内距球心O 为r 处有一点电荷q，求球心的电势．
解 导体球内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；依照分析，球心的电势 为
V?qqq?Q ??4πε0r4πε0a4πε0b3.在真空中，将半径为R 的金属球接地，与球心O 相距为r（r ＞R）处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影响．求金属球表面上的感应电荷总量．
解 金属球接地，其球心的电势
V?qdq?q1????dq??0 4πε0rs4πε0R4πε0r4πε0R?s2
感应电荷总量
Rq??dq???q
r4.地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．
解 由于地球半径R1 ＝6.37×10 m；电离层半径R2 ＝1.00×10 m ＋R1 ＝6.47 ×10 m，根据球形电容器的电容公式，可得
6
5
6
C?4πε0R1R2?4.58?10?2R2?R1F
5.两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容． 解 可知两输电线的电势差
U?因此，输电线单位长度的电容
λd?R lnπε0RC?λd?Rd?πε0/ln?πε0/ln URR?12代入数据 C?5.52?10F
6.电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm2 ，两金属片之间的距离是0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？
解 按下按键时电容的变化量为
3
?11?ΔC?ε0S???
?dd0?按键按下的最小距离为
ΔdminΔCd02min?d0?d??0.152mm
d0ΔC?ε0S7.盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1 的长直导线作为一个电极，半径为R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率εｒ ≈1 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1 表示半径为R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极间电势差的关系式；（2） 若E1 ＝2.0 ×106 V· m －1 ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm，两极间的电势差为多少？
解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得E?2πrL?1λL，则两极间的电场强度 ε0E?导线表面（r ＝R1 ）的电场强度
λ 2πε0rE1?两极间的电势差
λ
2πε0R1 4
U??E?dr??R1R2R2R1λRdr?R1E1ln2 2πε0rR1（2） 当E1?2.0?106V?m?1 ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm 时，
U?2.52?103V
8.如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10－８C，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d ＝0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（2） 离球心为r ＝5 cm、15 cm、25 cm 处的V；（3） 极化电荷面密度σ′．
解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得
r ＜R D1?4πr2?0
D1?0；E1?0
R ＜r ＜R ＋d D2?4πr2?Q
D2?QQ； E?2224πr4πε0εrrr ＞R ＋d D3?4πr2?Q
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【预赛自招】2024年高中物理竞赛习题专题：电势 电容器(含答案)
